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V H ②与某一投影面的平行面相垂直的平面，一定包含这个投影面的垂直线，一定是这个投影面的垂直面，也可以是其它两个投影面的平行面。 P Q R T I J H 特例：两个垂直于同一投影面的平面互相垂直、它们的有积聚性的同面投影也互相垂直。 A B C D E F ba cd fe [例2.37] 如图所示，过直线AB作一般位置平面垂直于正垂面P，过点C作垂直于正垂面P的正垂面Q和正平面R。 d QV d RH 2.4.4 点、直线、平面的综合作图题示例 空间几何问题，主要是指点、直线、平面等几何元素以及它们之间的相对位置关系的度量和定位问题。 作图时，应注意下述各点： ①理解题意，想象清楚已知和求作的几何元素之间的空间关系。 ②根据点、直线、平面及其相对位置的投影特征和几何条件，用推理或轨迹等方法分析和思考出解题的步骤。 ③运用几何原理和投影特性，按解题步骤在投影图中逐步准确作图，最后得出求解结果。 [例2.38] 如图所示，过点A作一般位置的△BCD的垂线AK和垂足K，并作出点A与△BCD之间的真实距离。 O X a b d a b c c d O X a b d a b c c d e 1 1 2 2 e PV 4 3 4 k k △z a0 真实距离 3 △z [例2.39] 如图所示，已知矩形ABCD的一边AB的两面投影及其邻边BC的正面投影bc，补全矩形ABCD的两面投影。 O X a b a b c O X a b a b c 1 e 1 2 2 e c d d 求解综合问题主要包括： 综合问题解题的一般步骤： 1. 分析题意 2. 明确所求结果，找出解题方法 3. 拟定解题步骤 空间几何元素的定位问题（求交点、交线） 空间几何元素的度量问题（求距离、角度）。 2.4.4 点、直线、平面的综合作图题示例 c? g? h? e? f? d? c e f g h d X O 空间几何元素定位问题 例：已知三条直线CD、EF和GH，求作一直线AB与CD平行，并且与EF、GH均相交。 1? c? g? h? e? f? d? c e f g h d X O H G 所求的直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与交叉直线EF、GH相交。 C D E F 1.过EF作一平面平行于CD； 2.求平面与GH的交点A； 3.过点A作CD的平行线，与EF交于点B。 A B k? k PV 1 2? 2 b? b a a? 2? 1 例：试过点A作直线与已知直线EF正交。 e f f? e? X O a? a 1? 2 PV k Q E F A K k? 过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK即为所求。 空间几何元素度量问题 度量问题——是解决距离和角度的度量问题，主要基础是根据直角投影定理作平面的垂线或直线的垂面，并求其实长或实形。 1.距离的度量 点到点之间的距离 求二点之间线段的实长（直角三角形 法）。 A B 例：求点C到直线AB的距离。 c? a? b? c a b X O P C 过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。 K 点到直线之间的距离. 过点作平面垂直于直线，求出垂足， 再求出点与垂足之间的线段实长。 e? d? e d 1? 2? 1 2 所求距离 c? a? b? c a b X O PV k k? c? a? b? c a b X O d? d f? e? f e 1? 2? 1 2 所求距离 例：求两平行直线AB 和CD的距离。 PV k? k 例：求Ｍ点到△ABC平面的距离。 从M点作△ABC平面的垂线，然后用辅助平面法求出垂线与△ABC平面的交点（即垂足），再用直角三角形法求出线段的实长即可。 f e? h h? 所求距离 MK实长 k? k e f? b m? b? a? c? a c X O m PH 点到平面之间的距离 过点作平面的垂线，求出垂足，再求 出点与垂足之间的线段实长。 P 例：求交叉两直线AB和CD的公垂线。 过CD作平面P平行于AB，再过点A作平面P的垂线AH，求出垂足E；在平面P上过点E作直线EF∥AB与直线CD交于点K；过点K作直线KL∥ AH交AB于L点，KL即为所求。 g? g 1? 1 2 2? h 3 4 3? 4? f c c? a? b? a b X O d d? h? e? f ? k? k l? l PH L E F e A B D C H K 直线与平行平面之间的距离 过直