专升本高数重点—第一章函数极限和连续.docVIP

PAGE19 / NUMPAGES23 第一章 函数、极限和连续 【考试要求】 一、函数 1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数． 2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性． 3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像． 4．掌握函数的四则运算与复合运算． 5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数． 6．了解初等函数的概念． 二、极限 1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义． 2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则． 3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，趋于无穷（，，）时函数的极限． 4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理． 5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较． 6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法． 7．熟练掌握分段函数求极限的方法． 三、连续 1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类． 2．掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型． 3．掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题． 4．理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限． 5．熟练掌握分段函数连续性的判定方法． 【考试内容】 一、函数 （一）函数的概念 1．函数的定义：设数集，则称映射为定义在上的函数，通常简记为，，其中称为自变量，称为因变量，称为定义域． 说明：表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的外，还可以用其他的英文字母或希腊字母，如“”、“”、“”等，相应的，函数可记作，，等．有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作，这一点应特别注意． 2．函数的解析（公式）表示法 （1）函数的显式表示法（显函数）：形式的函数，即等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，如，等． （2）函数的隐式表示法（隐函数）：函数的对应法则由方程所确定，即如果方程确定了一个函数关系，则称是由方程所确定的隐函数形式． 说明：把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程解出，就把隐函数化成了显函数．但并非所有的隐函数都能显化，隐函数的显化有时是非常困难的，甚至是不可能的． （3）分段函数：如果函数的对应法则是由几个解析式表示的，则称之为分段函数，如 是由两个解析式表示的定义域为的一个函数． （4）由参数方程确定的函数：如果自变量与因变量的关系是通过第三个变量联系起来 （为参变量），则称这种函数关系为参数方程所确定的函数．例如：参数方程 表示的图形即为圆心在原点，半径为的圆． （二）函数的几种特性 1．有界性 设函数的定义域为，数集，如果存在正数，使得对任一都成立，则称函数在上有界．如果这样的不存在，就称函数在上无界． 说明：我们这里只讨论有界无界的问题而不区分上界和下界，并且，由上述定义不难看出，如果正数是函数的一个界，则比大的数都是函数的界． 2．单调性 设函数的定义域为，区间．如果对于区间上任意两点及，当时，恒有，则称函数在区间上是单调增加的；如果对于区间上任意两点及，当时，恒有，则称函数在区间上是单调减少的．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数． 3．奇偶性 设函数的定义域关于原点对称．如果对于任一，恒成立，则称为偶函数．如果对于任一，恒成立，则称为奇函数．例如：、都是偶函数，、是奇函数，而则为非奇非偶函数． 偶函数的图形关于轴对称，而奇函数的图形关于原点对称． 说明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．其余结论读者可自行论证． 4．周期性 设函数的定义域为．如果存在一个正数，使得对于任一有，且恒成立，则称为周期函数，称为的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期．例如：函数、都是以为周期的周期函数，函数是以为周期的周期函数． （三）函数的运算 1．和差积商运算 设函数，的定义域依次为，，，则我们可以定义这两个函数的下列运算： （1）和（差）：，； （2）积：，； （3）商：，． 2．反函数（函数的逆运算） 对于给定的是的函数，若将当作自变量而当作因变量，则由关系式所确定的函数称为函数的反函数，记为，叫做直接函数． 若直接函数的定义域为，值域为，则反函数的定义域为，值域为．且直接函数的图