北京课改版数学九上21.5《应用举例》同步测试.docVIP

21.5应用举例——航海问题 同步练习 一、求距离 1．　台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A、B两处的上海救捞局所属专业救助轮“华意”轮、沪救12”轮前往出事地点协助搜救．接到通知后，“华意”轮测得出事地点C在A的南偏东60°，“沪救12”轮测得出事地点C在B的南偏东30°．已知B在A的正东方向，且相距100海里，分别求出两船到达出事地点C的距离．如图1 分析 读懂题目，弄清与方位有关的词语，在△ABC中正确写出已知条件是解题的关键，依题意知△ABC是顶角为150°的等腰三角形，过点B作底边上的高，不难求出BC、AC的长． 解：作BD⊥AC，依题意知∠ABC＝120°，∠BAC＝30°， ∴BC＝AB＝100海里．在Rt△BDC中，∴∠C＝30 ∴DC＝BC·Cos30°＝50 ∴AC＝100． 说明 本题是三角函数的应用问题，其实质上是用解直角三角形的知识解斜三角形的问题，如何把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题，只要弄清题意，理解关键字词的含义，把实际问题转化为数学问题，方能正确作出辅助线，构造直角三角形求解． 二、求速度 2．　甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16.1海里/小时的速度向东偏南32°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向．求乙船的速度v（精确到0.1海里／小时） （参考数据： sin32°＝0.53，Cos32°＝0.85，tAn32°＝0.62，Cot32°＝1.60） 分析 由题意知∠AOB＝90°，要求乙船的速度，得先求OB的长． 解 由题意可得：OA＝16．1×2＝32.2（海里）， ∠1＝32°，∠2＝58°． ∴∠AOB＝180°－（∠1＋∠2）＝90°． 由B在A的正西方向，可得∠A＝∠1＝32° 又∵在Rt△AOB中，tAnA＝， ∴OB＝OA·tAnA＝32.2×0.62＝19.964． ∴v＝＝19.964÷2＝9.982≈10.0（海里／小时） 三、确定航行方向 3．　如图3，海中有一小岛P，在其距8海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为16海里，若轮船继续向东方向航行，请计算轮船有无触礁的危险，如有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域． 解 依题意画出航行图，如图3，由P向A的正东方向作垂线PB，垂足为B． 由∠PAB＝30°，得 PB＝AP＝8． 因为8＜8，故有触礁的危险 为了安全，应改变航行方向，并且保证P点到航向的距离不能小于暗礁的半径8，即这个距离至少等于8 设安全航向为AD，做PC⊥AD于C，由题意，AP＝16，PC＝8，∴sin∠PAC＝． ∴∠PAC＝45°，从而知∠BAC＝15°． 故轮船自A开始，至少应沿东偏南15°的方向航行，才能安全通过此海域 四、确定航船是否进入危险区 4．　今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位．一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°的方向上．前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上（如图4）．在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩．如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（≈1.73） 解 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D． 在Rt△ADC中，AD＝CD·Cot∠CAD＝CD·Cot30°＝CD． 在Rt△BDC中，AD＝CD·Cot∠CBD＝CD·Cot45°＝CD． ∴AB＝AD－BD＝CD－CD＝（－1）CD＝100 ∴CD＝＝50（＋1）≈136.5（米） ∵136.5米＞120米