《常微分方程23全微分方程》-课件设计（公开）.ppt

多元函数全微分的逆运算。 可分离变量、 解 将方程写成 左端是全微分式 方程变成 通解 齐次方程。 0 ) ( d = xy §2.3 全微分方程 求解 1.全微分方程的定义 设 是一个连续可微的二元函数,则 若 则有 这是一大类可求解的微分方程. 则称 为全微分方程。 若连续可微的二元函数 使得 此时，全微分方程 的解为 例如,下列方程都是全微分方程: 因为函数 的全微分就分别是这三个方程的左端, 他们的解分别是 但并不是所有的方程都能方便地找到对应的 的函数 ,或者这样的 就不存在. 所以我们有三个问题需要解决: (1)方程是否就是全微分方程; (2)若方程是全微分方程,怎样求它的解; (3)若方程不是全微分方程,有无可能 将它转化为一个全微分方程来求解? 是全微分方程的充要条件为: （2.3.3) 证明：一.先证必要性 2.方程为全微分方程的充要条件 设 是全微分方程,则有函数 使得 中连续且有连续的一阶偏导数，则 定理2.1 设函数 和 在一个矩形区域 故 成立。 故有 计算 的二阶混合偏导数: 由于M(x,y)和N(x,y)有连续一阶偏导数, 从而有 二.再证充分性 构造函数 满足 设 满足 取 待定，对上式关于y求偏导数得 在矩形R中取一点 令 是R的一个动点， 令 所有与 相差一个常数的函数都满足 则找到一个满足 的函数 这种方法称为线积分法. 例：验证方程 是全微分方程，并求它的通解。 3.全微分方程的积分 由于 解： 当一个方程是全微分方程时,我们有三种解法. (1) 线积分法: 或 故通解为 其中 为任意常数 所以方程为全微分方程。 (2)偏积分法 的通解. 例：求方程 　由于 解：　 假设所求全微分函数为 ,则有 求 而 即 从而 即 解: 偏积分法 原方程的通解: 例：验证方程 是全微分方程，并求它满足初始条件： 的解。 所以方程为全微分方程。 由于 解：　 　由于 (3)凑微分法 方程的通解为： 利用条件 得 最后得所求初值问题得解为： 根据二元函数微分的经验,原方程可写为 通解： 解: 分组凑全微分法 解 是全微分方程 将左端重新组合 原方程的通解： 一阶线性方程 解 整理: 法一 法二 整理: （1）偏积分法 原方程的通解: （2）凑全微分法 原方程的通解: 若一个方程不是全微分方程， 我们可以用积分因子法将其变为全微分方程。 4.积分因子 例: 求方程 解： 故该方程不是全微分方程,对该方程两边 同时乘以 后得: 由于 利用凑微分的方法可得通解为: 如果有函数 使方程 是全微分方程。则 一个积分因子。 称为方程的 观察法 凭观察凑微分得到 常见的全微分表达式 可选用积分因子 例:验证 是方程 的积分因子,并求它的通解. 解： 对方程两边同乘以 后得 由于 故该方程是全微分方程, 是一个 利用凑微分的方法可得通解为: 积分因子, 例:验证 是方程 的一个积分因子，并求其通解。 解：对方程有 对方程两边同乘以 后，再利用凑微分法 ∴通解为: 求方程 解 不是全微分方程. 将方程两端重新组合, 观察法, 积分因子 原方程 解 将方程两端重新组合, 求方程 不是全微分方程. 积分因子, 原方程的通解: 从上面的例子可看出,当确定了积分因子后, 很容易求出其通解,但问题是: (1) 积分因子是否一定存在? (2) 如何求积分因子? 这两个问题是十分困难的问题,一般来说无法 给出答案,但对一些特殊的函数或方程是可以给出 一些充分条件的. 定理2.2 微分方程 有一个仅依赖 的积分因子得充要条件是: 于 有关； 仅与 因子得充要条件是 同理，方程有一个仅依赖于 的积分 仅与 有关。 即 上式左端只与 有关, 故右端也只能是 的函数. 反之, 若方程的右端函数仅与 有关, 我们取 证明: 仅证第一部分. 不妨设 上式就是方程的一个积分因子, 故定理得证. * *