《常微分课程课件1》-课件设计（公开）.ppt

思考 1、微分方程的解是否连续？是否可导？ 2、微分方程解的定义区间是否可以是一个点？ 3、通解是否一定包含了全部解？ 4、所有方程都有通解吗？ 例3 证明: 由于 故 又由于 注2: 注3: 类似可定义方程的隐式通解, 如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解. 以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解. 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解. 例如 定义6 3 定解条件 为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件. 求满足定解条件的求解问题称为定解问题. 常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件: 当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题. 注1: n阶微分方程的初始条件有时也可写为 注2: 例4 解 由于 且 解以上方程组得 * * 常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。 学习《常微分方程》的目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也最基本的微分方程问题，学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课程的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本方法，初步了解自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。 教材及参考资料 教 材：常微分方程（第三版），王高雄等编，高教出版社。 参考书目：常微分方程，东北师大数学系编，高教出版社 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。 常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。 常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。 第一章 绪论 常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何、力学、物理、电子技术、自动控制、航天、生命科学、经济等领域都有着广泛的应用，本章将通过几个具体例子，粗略地介绍常微分方程的应用，并讲述一些最基本概念。 §1.1 常微分方程模型 微分方程: 联系着自变量、未知函数及其导数的关系式. 为了定量地研究一些实际问题的变化规律，往往要对所研究的问题进行适当简化和假设，建立数学模型，当问题涉及变量的变化率时，该模型就是微分方程。下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程. 例1 镭的衰变规律: 解: 即镭元素的存量是指数规律衰减的. 将某物体放置于空气中, 在时刻 时, 测得它的温度为 10分钟后测量得温度为 试决定此物 体的温度 和时间 的关系. 例2 物理冷却过程的数学模型 Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比. 设物体在时刻 的温度为 根据导数的物理意义, 则 温度的变化速度为 由Newton冷却定律, 得到 其中 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型. 解: 例3 R-L-C电路 如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系. 电路的Kirchhoff第二定律: 设当开关K