《5各态历经性》-课件设计（公开）.ppt

第十二章 平稳随机过程（续） 各态历经性的引言 平稳过程的统计特征完全由其前二阶矩函数确定, 对于固定的时刻t,均值函数是随机变量X(t)的取值在样本空间上的概率平均,是由X(t)的分布函数所确定,但是要知道其分布在实际中是不易办到的。 各态历经性的引言 如果我们能对过程{X(t)}进行多次重复观察从而得到多条样本曲线，用统计方法可以估计其均值及自相关函数 各态历经性的引言 由于所采用极限(收敛)的标准不同得到的遍历性定理也不同，关于平稳过程的遍历性主要有两类： (1)对强平稳过程在几乎处处收敛的意义下的遍历性  定理； (2)对弱平稳过程在均方收敛的意义下的遍历性定理； 一、 平稳过程遍历性的定义： 首先引入平稳过程{X(t)，-?t+?}沿整个时间轴上的两种时间平均： 设{X(t)}为均方连续的平稳过程，且对固定的?，X(t)X(t+?)也是均方连续的平稳过程 1．定义 (1). 设{X(t)}为平稳过程，若X(t)=E[X(t)]=μx以概率1成立，称{X(t)}的均值具有均方遍历性。 (2)．若??，X(t)X(t+?)=E[X(t)X(t+?)]=Rx(?)以概率1成立，称{X(t)}的自相关函数具有均方遍历性。 (3)．若(1),(2)均成立，则称该过程具有均方遍历性，或称为遍历过程。 问题：有没有这种遍历过程？ 例：计算随机相位正弦波 X(t)=acos(?t+?)=a[cos?tcos?-sin?tsin?]的时间平均X(t)和X(t)X(t+?). 解：已证此过程为平稳过程。 事实上， X(t) = Y = =Y. 即：时间均值随Y取不同的可能值而不同。 2．(自相关函数遍历性定理) 均方连续的平稳过程{X(t)}，且对给定?,{X(t)X(t+?)}也是均方连续的平稳过程，则{X(t)}关于自相关函数具有遍历性? 1.{X(t)}关于均值具有遍历性? 不过实际问题中，一般也不可能给出x(t)的表达式。通常通过模拟方法和数字方法估计，参考教材P389。 各态历经定理的条件是比较宽的，工程中碰到的大多数平稳过程都能满足，不过真的验证他们成立却也十分困难，在实践中，通常先假定研究的平稳过程具有各态历经性，从这个假定出发，对各种资料进行分析处理，看结论是否与实际相符，如不符则要修改假设，另做处理。 平稳过程的功率谱密度 1．时间函数的能谱密度 设x(t)(-?t+?)是时间t的函数，且 (2)在x(t)和F(?)之间有巴塞瓦尔等式 2．时间函数的功率谱密度 上面假定 即x(t)的总能量有限，在实际问题中，大多数函数的总能量都是无限的，比如正弦函数，因而不能满足傅里叶变换条件，在工程技术中通常研究x(t)在(-?t+?)上的平均功率，即 那么xT(t)满足傅里叶变换条件，于是有 3．平稳过程的平均功率与功率谱密度 以上讨论的是普通时间函数的频谱分析，对于随机过程{X(t), -∞ t +∞}可作类似的分析。 设X(t)是均方连续随机过程，作截尾随机过程 因为X(t)是随机过程，非随机化，于是有 定义1：设{X(t),-∞t+∞}为平稳过程，且对任意的T,  存在，称 当X(t)是均方连续的平稳过程时，由于E[X2(t)]=Rx(0), 利用均方积分的性质有 例1:设有随机过程X(t)=acos(?t+?), a, ?为常数，在下列情况下，求X(t)的平均功率: （1）Θ是在(0, 2?)上服从均匀分布的随机变量。　 （2）Θ是在(0, ?/2)上服从均匀分布的随机变量。 解:（1）X(t)是平稳过程，且相关函数为 ， 故X(t)的平均功率为 故X(t)为非平稳过程，X(t)的平均功率为 4. 谱密度性质 对于平稳过程的统计描述，从时域上是对相关函数Rx(?)进行讨论，而频域上是对谱密度进行讨论。Rx(?)和Sx(?)都是X(t)的特征，它们之间必定存在某种关系: 性质1. Sx(?)是?的实的、非负的偶函数； 证：因为 |Fx(?,T)|2=Fx(?,T)Fx(-?,T) 是?的实的、非负的偶函数，所以它的均值的极限 性质2. 若 对每一个τ都成立，于是就可得到公式 性质3. 当Sx(?)为?的有理函数时，其形式必为 于是 互谱密度 P405 自学 平稳随机工程在系统辨识中的应用 补充知识  均方值为 例2: 已知平稳过程的自相