函数的对称性与周期性.doc

5 函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称 2、轴对称的等价描述： （1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数） （2）关于轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可。例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便 （3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分： 若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有 ② 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。 2、中心对称的等价描述： （1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数） （2）关于中心对称 在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可。例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便 （3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称。 ① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分： 若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有 ② 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。 4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点： （1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称 （4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同 （二）函数的周期性 1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期 2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等 3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期 4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数 5、函数周期性的判定： （1）：可得为周期函数，其周期 （2）的周期 分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式： 所以有：，即周期 注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期 （3）的周期 （4）（为常数）的周期 分析：，两式相减可得： （5）（为常数）的周期 （6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设） ① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期 分析：关于轴对称 关于轴对称 的周期为 ② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期 ③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期 7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。 （1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值 （2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴” （3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减） （4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为 证明：关于轴对称 函数的周期为 关于轴对称 注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法 二、典型例题： 例1：设为定义在上的奇函数，，当时，，则__________ 例2：定义域为的函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 例3：定义在上的函数对任意，都有，则等于（ ） A. B. C. D. 例4（2009山东）：定义