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历届全国大学生数学竞赛决赛解析(非数类)
首届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案
（非数学类，2010）
n−1 k kπ
1）求极限lim ∑(1+ )sin 2 .
n→∞ k 1 n n
2
axdydz +(z +a) dxdy 2 2 2
a
2 ）计算∫∫ 2 2 2 ，其中∑为下半球面z − a −y −x 的上侧， 为大于0 的
∑ x +y +z
常数.
3 ）现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的
材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最
少？
1 1 1
4 ）已知f (x ) 在( , ) 内满足f ′(x ) 3 3 ，求f (x ) .
4 2 sin x +cos x
n−1 k kπ
解 1 ）记 Sn ∑(1=+ )sin 2 ，则
k 1 n n
n−1 ⎛ k ⎞⎛kπ 1 ⎞
Sn ∑⎜1=+ ⎟⎜ 2 +o ( 2 )⎟.
k 1 ⎝ n ⎠⎝n n ⎠
π n−1 π n−1 2 1
k =+ k +o( )
∑ ∑
2 3
n k 1 n k 1 n
π π 5π
→ +
2 3 6
2 ） 将Σ （或分片后）投影到相应坐标平面上化为二重积分逐块计算。
1 2 2 2
I axdydz − a − y +z dydz
1 ∫∫ 2∫∫ ( )
a
Σ D
yz
其中D 为y oz 平面上的半圆y 2 +z 2 ≤a 2 ,z ≤0 。利用极坐标，得
yz
2π a 2 2 2 3
I =− dθ a −r rdr =− πa
2
1 ∫ ∫
π 0 3
1 2 1 2 2 2 2
I z =+a dxdy a =− a − x +y dxdy ，
2 ∫∫( ) ∫∫[ ( )]
a a
Σ D
xy
其中D 为xoy 平面上的圆域x 2 +y 2 ≤a 2 。利用极坐标，得
xy
1 2π a
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