《14高数(上)34凹向、拐点、作图》-课件设计（公开）.pptVIP

* 如果我们接受某条信息时， 和我们头脑中已有的信息有密 切的联系，就好像往仓库中放 东西时作了许多的标记，寻找 时就比较容易。 可见，有效地提取信息，是记忆的核心。而有效提取的关键，是接收信息时“做好标记”。 1.凹凸性的定义 （中点的函数值小于函数值的中值） （中点的函数值大于函数值的中值） §3.4 曲线的凹向与拐点 · 函数作图 一 曲线的凹向与拐点 就是说： 若在某一区间内，函数图像总在曲线上任一点切线的上方， 则称曲线在这区间是凹的； 直观观察 在有些教材中，凹的（曲线）又叫“上凹”，凸的又叫“下凹”。 下方。 凸的。 连续曲线上，不同凹向曲线段的分界点，称为曲线的拐点。 注意：拐点是曲线上的点，应由两个坐标表示：（ x0 , f ( x0 ) ）. 前面讲过的极值点，是取得极值时自变量的值，记 为 x = xi。 两者不同。 P106定理3.8 函数y = f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续,在开区间内二阶可导， 则当 f ”( x ) 0 时，曲线上凹（凹）； f ”( x ) 0 时，曲线下凹（凸）。 2、曲线凹向的判定 仍可用“雨水法则” 帮助记忆 证明从略，但应注意： （1）定理条件中的“在开区间内二阶可导”，对有限个点，可 以允许二阶导数为零或不存在。但一阶导数必须存在。 （2）定理中的区间，可以是任何形式的区间。 补例1. 补例2. 解 解 3、判定函数凹向的步骤 （1）确定函数 y = f ( x )的定义域； （2）求 f ”( x ), 找出使 f ”( x ) = 0 和 f ”( x ) 不存在的点 xi ； （3）用 xi 把定义域划分成为小区间，在每个小区间上判定曲线的凹向。 4、拐点的判定 必要条件： 若函数 f(x) 在点 x0 二阶可导，且点 ( x0, f(x0) ) 是曲线的拐点，则 f ’’(x0) = 0 充分条件： 补例3. 曲线是凸的。 曲线是凹的。 解 补例4. 在区间（－∞，0]内曲线是凹的。 在区间[0， ]上曲线是凸的。 解 在区间[ ，＋∞）内曲线是凹的。 · · 0 补例5. 显然， 是方程 的根。 但当 时， 总有 因此，（0，0）不是这曲线的拐点。 补例6 求曲线 的拐点。 解 当 时， 当 时， 都不存在 。 解 另外，函数没有其他二阶导数为零或二阶导数不存在的点。 所以， 在 不连续且不具有零点。 但 把 分成两个部分区间： 曲线在 上是凹的。 曲线在 上是凸的。 则 点是曲线的拐点。 （由上页） 本例说明：二阶导数不存在的点 也有可能是拐点 5、曲线的渐近线 (补课本§1.6) (1)、水平渐近线 (2)、垂直渐近线 C x y O x0 x y O (3)、斜渐近线（补充——不作要求） 显然，一般先确定a 二 函数作图 利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图。 1、分析法作图的步骤： （1）确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性； （2）求函数的一阶、二阶导数， 找出 f ’( x ) = 0 和 f ’( x ) 不存在的点 xi 找出 f ”( x ) = 0 和 f ”( x ) 不存在的点 xk （3）用 xi , xk 和函数的间断点把函数的定义域划分成若干 个小区间； （4）确定函数的单调性、极值点、凹向和拐点。列成表格； （5）讨论函数的渐近线。添加必要的辅助点； （6）完成作图。 + 0 － 的图形 － － 0 + － － － + + + 0 极大 拐点 极小 以下表示不正确 （4）第四行曲线 y = f ( x ) ，用适当凹向的曲线箭头，表明函数 在相应区间的大体形态；注意，箭头方向是：箭尾在左，箭头 在右； 2、关于函数形态表的说明（如下表） （1）第一行 x ，由左至右按照从小到大列出小区间和它们的 分界点； （3）第三行 y” ，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相 应的导数值； （2）第二行 y ’ ，在相应的区间判断正、负；在分界点写出相 应的导数值； *