直线与圆B-教师版-苏深强.docVIP

直线与圆 一、直线的概念、直线方程 1．(上海市闵行区2011届高三下学期质量调研文科)经过点且法向量为的直线的方程为 . 二、点与直线、两条直线、直线系 2、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为 1 。 3．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题)直线，，则直线 与的夹角为= ． 4．(上海市十校2010-2011学年第二学期高三第二次联考理科)平面上三条直线，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数的取值集合为 ． 三、圆的方程、点与圆、直线与圆 5、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)直线被圆所截得的弦长等于 2 ． 6．(上海市十三校2011年高三第二次联考理科)设圆的一条切线与轴、轴分别交于点，则的最小值为 4 。 7. (上海市普陀区2011年4月高三质量调研)（本题满分16分） xy（文）如图，在平面直角坐标系中，方程为的圆的内接四边形的对角线和互相垂直，且和分别在轴和轴上 . x y （1）求证：; （2）若四边形的面积为8，对角线的长为2，且，求的值； （3）设四边形的一条边的中点为，且垂足为.试用平面解析几何的研究方法判断点、、是否共线，并说明理由. 解;（文科） （1）证法一：由题意，原点必定在圆内， 即点代入方程的左边后的值小于0， 于是有，即证. 证法二：由题意，不难发现、两点分别在轴正负半轴上. 设两点坐标分别为 ， ，则有. 对于圆方程，当时，可得，其中方程的两根分别为点和点的横坐标，于是有. 因为，故. （2）不难发现，对角线互相垂直的四边形面积，因为，，可得. 又因为，所以为直角，而因为四边形是圆的内接四边形，故. 对于方程所表示的圆，可知，所以. （3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为，，，. 则可得点的坐标为，即. 又，且，故要使、、三点共线，只需证即可. 而，且对于圆的一般方程， 当时可得，其中方程的两根分别为点和点的横坐标， 于是有. 同理，当时，可得，其中方程的两根分别为点和点的纵坐标，于是有. 所以，，即. 故、、必定三点共线. 8. (上海市普陀区2011年4月高三质量调研)（本题满分18分） （文理）如图1，已知半径为的圆的内接四边形的对角线和相互垂直且交点为. xy x y （1）若四边形中的一条对角线的长度为（），试求：四边形面积的最大值； （2）试探究：当点运动到什么位置时，四边形的面积取得最大值，最大值为多少？ （3）对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形.如图2，设平面直角坐标系中，已知椭圆（）的内接四边形的对角线和相互垂直且交于点. 试提出一个由类比获得的猜想，并尝试给予证明或反例否定.【本小题将根据你所提出的猜想的质量和证明的完整性给予不同的评分】 23. （本题满分18分） （理科）解：（1）因为对角线互相垂直的四边形面积，而由于为定长，则当最大时，四边形面积取得最大值. 由圆的性质，垂直于的弦中，直径最长，故当且仅当过圆心时，四边形面积取得最大值，最大值为. （2）解法一：由题意，不难发现，当点运动到与圆心重合时，对角线和的长同时取得最大值，所以此时四边形面积取得最大值，最大值为. 解法二：设圆心到弦的距离为，到弦的距离为，的距离为.则，，且.可得 又，当且仅当时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立. 又因为点在圆内运动，所以当点和圆心重合时，此时，故此时四边形的面积最大，最大值为.不难发现，此时该四边形是圆内接正方形，对角线交点与圆心重合. （3）类比猜想1：若对角线互相垂直的椭圆内接四边形中的一条对角线长确定时，当且仅当另一条对角线通过椭圆中心时，该椭圆内接四边形面积最大. 类比猜想2：当点在椭圆中心时，对角线互相垂直的椭圆内接四边形的面积最大. 以上两个均为正确的猜想，要证明以上两个猜想，都需先证：椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大. 证：设椭圆的方程为（），平行弦的方程为， 联立可得 不妨设、，则 由于平行弦的斜率保持不变，故可知当且仅当时，即当直线经过原点时，取得最大值…（*）.特别地，当斜率不存在时，此结论也成立. 由以上结论可知，类比猜想一正确。又对于椭圆内任意一点构造的对角线互相垂直的椭圆内接四边形，我们都可以将对角线平移到交点与椭圆中心重合的椭圆内接四边形,而其中,,所以必有.即证明了猜想二也是正确的. 类比猜想3：当点在椭圆中心，且椭圆内接四边形的两条互相垂直的对角线恰为椭圆长轴和短轴时，四边形面积取得最大值. 要证明此猜想，也需先证“椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大.”在