专升本第九讲--常微分方程知识点.docVIP

PAGE PAGE8 / NUMPAGES8 常微分方程 基本概念 （1）微分方程：包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微分方程。其中未知函数是一元函数的叫常微分方程。 （2）微分方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。 （3）微分方程的解：满足微分方程或。前者为显示解，后者称为隐式解 （4）微分方程的通解：含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解 （5）初始条件：用来确定通解中任意常数的附加条件。 （6）微分方程的特解：通解中的任意常数确定之后的解。 一阶微分方程 1、可分离变量的微分方程 （1）形如的微分方程。 解法：变形为，两边作不定积分求出通解。 （2）形如的微分方程。 解法：令，则，两边对x求导，然后代入原方程，则变量分离 2、一阶线性微分方程 一阶线性齐次微分方程 形如。解法：变量分离 一阶线性非齐次微分方程 形如 解法：常数变易法或公式法 注：一阶线性非齐次微分方程的通解公式为： 在通常使用中建议选择常数变易法 三、可降阶微分方程 形如的微分方程 解法：作n次不等式 形如的微分方程 解法：令 四、二阶常系数线性微分方程 形如的微分方程，称二阶常系数线性齐次微分方程 形如的微分方程，称二阶常系数线性非齐次微分方程。（其中，p,q均为常数）。 有关解的结构定理 (1) 定理1 若是二阶线性齐次方程的解，则其任意一个线性组合也是该方程的解 函数若满足为常数，称线性相关，若为常数，称 线性无关 (2) 定理2 若是二阶线性齐次方程的两个线性无关的解，则就是该方程的通解。 (3) 定理3 设是二阶线性非齐次方程的解，是的解，则是方程的解。 (4) 定理4 设是二阶线性非齐次微分方程的特解，是与其对应的齐次方程的通解，则为方程的通解。 常系数二阶线性齐次方程 （1） 求通解的步骤如下： (1)、写出（1）的特征方程 （2）写出特征方程的两个根 （3）按照下列规律写出（1）的通解 实根 实根 常系数二阶线性非齐次方程 写出对应的齐次方程 写出齐次方程的通解 写出的一个特解 即为的通解。 3、 其中为实常数，为x的n次多项式 特解可设为= 其中为x的n次多项式，k按是否为特征方程的根来确定： 4、 特解可设为 其中C,D是待定的常数，k可按是否为特征方程的根来确定。 5、得到特解后，通解即为=，（其中，为其齐次方程的解） （一）一阶微分方程 1. 理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、特解及初始条件。 微分方程：凡含有未知函数导数（或微分）的方程 。 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数（或微分）的阶数。 微分方程的解： 代入微分方程后使其成为恒等式的函数。 微分方程的通解：含有任意常数，且其独立的任意常数的个数与方程的阶数相同， 这样的解称通解(或一般解)。 微分方程的特解：当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。 问题：会由初始条件和通解求特解 例1． 5．函数（为任意常数）是微分方程的【 】 （A） 特解 （B）通解 （C）是解，但既不是通解也不是特解 （D）不是解 例2． 4、函数（是任意常数）是方程的（ ）. A、特解. B、是解，但不是通解，也不是特解. C、不是解. D、通解. 2. 掌握可分离变量微分方程的解法。 解法步骤： ① 分离变量： 化方程 （使方程两边都只含有一个变量） ② 两边积分： = ③ 化简： 注: 约定在解微分方程时，积分得是对数时，其真数可以不加绝对值符号。积分常数可以用C函数式子代替。 例1求微分方程的通解。 例2 求微分方程满足初始条件的特解。 3. 掌握一阶线性微分方程的解法。 （1）一阶线性非齐次方程 的解 （2）一阶线性非齐次方程的解 求解初值问题 ． 例2求方程的通解． 例3．以为通解的微分方程是： ； 例4． 17．求微分方程 满足初始条件的特解； 例5． 6、求微分方程的通解。 例6．八、求微分方程的通解.（共 7分） 例 7.求微分方程的通解. （二）二阶线性微分方程 1. 了解二阶线性微分方程解的结构。 （1）线性齐次方程解的叠加原理： 若函数、是线性齐次方程的两个解