《D12微分方程习题课(1)》-课件设计（公开）.pptVIP

阜师院数科院 习题课 (一) 一、一阶微分方程求解 例1. 求下列方程的通解 调换自变量与因变量的地位 , 例2. 求下列方程的通解: 例3. 练习题: 二、解微分方程应用问题 P327 题6. 已知某车间的容积为 * 一阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 解法及应用 第十二章 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: (1) 故为分离变量方程: 通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 用线性方程通解公式求解 . 化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法 1 这是一个齐次方程 . 方法 2 化为微分形式 故这是一个全微分方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: (1) 令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为 (贝努里方程) (分离变量方程) 原方程化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 y = u t (齐次方程) 令 t = x – 1 , 则 可分离变量方程求解 化方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 变方程为 两边乘积分因子 用凑微分法得通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (03考研) (2) 求出F(x) 的表达式 . 解: (1) 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得 于是 (题3只考虑方法及步骤) P326 题2 求以 为通解的微分方程. 提示: 消去 C 得 P327 题3 求下列微分方程的通解: 提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : 提示: 这是一阶线性方程 , 其中 P326 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程 提示: 为贝努里方程 , 令 提示: 为全微分方程 , 通解 提示: 可化为贝努里方程 令 微分倒推公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原方程化为 , 即 则 故原方程通解 提示: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 一鸭子从点 A 游向点 利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件. 为平行直线, 且鸭子游动方向始终朝着点O , 提示: 如图所示建立坐标系. 设时刻t 鸭子位于点P (x, y) , 设鸭子(在静水中)的游速大小为b 求鸭子游动的轨迹方程 . O , 水流速度大小为 a , 两岸 则 关键问题是正确建立数学模型, 要点: 则鸭子游速 b 为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定解条件 由此得微分方程 即 鸭子的实际运动速度为 ( 求解过程参考P273例3 ) ( 齐次方程 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 能否根据草图列方程? 练习题: P327 题 5 , 6 P327 题5 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ), 轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 . 提示: 设曲线上的动点为 M (x,y), 令 X = 0, 得截距 由题意知微分方程为 即 定解条件为 此点处切线方程为 它的切线在纵 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的新鲜空气 问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空 的含量不超过 0.06 % ? 提示: 设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含 则在 内车间内 两端除以 并令 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 ) 得微分方程 ( 假定输入的新鲜空气