《D12微分方程习题课(2)》-课件设计（公开）.ppt

阜师院数科院 习题课 (二) 一、两类二阶微分方程的解法 2. 二阶线性微分方程的解法 解答提示 特征根: P327 题4(2) 求解 P327 题8 设函数 解初值问题: 例1. 求微分方程 例2. 例3. 二、微分方程的应用 例4. 例5. 例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m , 摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为 练习题 备用题 2. * 二阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法 第十二章 1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法 令 令 逐次积分求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常系数情形 齐次 非齐次 代数法 欧拉方程 练习题: P327 题 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P327 题2 求以 为通解的微分方程 . 提示: 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为 P327 题3 求下列微分方程的通解 提示: (6) 令 则方程变为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 齐次方程通解: 令非齐次方程特解为 代入方程可得 思 考 若 (7) 中非齐次项改为 提示: 原方程通解为 特解设法有何变化 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: 令 则方程变为 积分得 利用 再解 并利用 定常数 思考 若问题改为求解 则求解过程中得 问开方时正负号如何确定? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 r 0 内满足拉普拉斯方程 二阶可导, 且 试将方程化为以 r 为自变 量的常微分方程 , 并求 f (r) . 提示: 利用对称性, 即 ( 欧拉方程 ) 原方程可化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则原方程化为 通解: 利用初始条件得特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特征根 : 提示: 故通解为 满足条件 解满足 处连续且可微的解. 设特解 : 代入方程定 A, B, 得 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处的衔接条件可知, 解满足 故所求解为 其通解: 定解问题的解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且满足方程 提示: 则 问题化为解初值问题: 最后求得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 设 提示: 对积分换元 , 则有 解初值问题: 答案: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的解. 设函数 内具有连续二阶导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ; (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 数, 且 解: 上式两端对 x 求导, 得: (1) 由反函数的导数公式知 (03考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入原微分方程得 ① (2) 方程①的对应齐次方程的通解为 设①的特解为 代入①得 A＝0, 从而得①的通解: 题 目录 上页 下页 返回 结束 由初始条件 得 故所求初值问题的解为 1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 建立微分方程 ( 共性 ) 利用物理规律 利用几何关系 确定定解条件 ( 个性 ) 初始条件 边界条件 可能还要衔接条件 2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球 引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度. 设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星 的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得: ② (G 为引力系数) 则有初值问题: 又设卫星的初速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ③ 代入原方程②, 得 两边积分得 利用初始条件③, 得 因此 注意到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为使 因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即 ④ 代入④即得 这说明第二宇宙速度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求质点的运动规 上的力 F 所作