等比数列知识点总结与典型例题 (精华版).doc

5A版优质实用文档 PAGE PAGE 4 5A版优质实用文档 等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：，称为公比 2、通项公式： ，首项：；公比： 推广： 3、等比中项： （1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列是等比数列 4、等比数列的前项和公式： （1）当时， （2）当时， （为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的，都有为等比数列 （2）等比中项：为等比数列 （3）通项公式：为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若或为等比数列 7、等比数列的性质： （2）对任何，在等比数列中，有。 （3）若，则。特别的，当时，得注： 等差和等比数列比较： 等差数列 等比数列 定义 递推公式 ； ； 通项公式 （） 中项 （） （） 前项和 重要 性质 经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式 例1．等比数列中，,,求. 思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出和，可得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求. 解析： 法一：设此数列公比为，则 由(2)得：(3) ∴. 由(1)得：,∴(4) (3)÷(4)得：， ∴,解得或 当时，，； 当时，，. 法二：∵,又, ∴、为方程的两实数根， ∴或 ∵,∴或. 总结升华： ①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量； ②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）. 举一反三： 【变式1】{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。 【答案】±96 法一：设公比为q，则768=a1q8，q8=256，∴q=±2，∴a6=±96； 法二：a52=a1a9a5=±48q=±2，∴a6=±96。 【变式2】{an}为等比数列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45 【答案】64； ∵，又an＞0，∴a45=4 ∴。 【变式3】已知等比数列，若，，求。 【答案】或； 法一：∵，∴，∴ 从而解之得，或， 当时，；当时，。 故或。 法二：由等比数列的定义知， 代入已知得 将代入（1）得， 解得或 由（2）得或，以下同方法一。 类型二：等比数列的前n项和公式 例2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q. 解析：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1. 因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1. 由得，， 整理得q3(2q6-q3-1)=0， 由q≠0，得2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0， 因q3≠1，故，所以。 举一反三： 【变式1】求等比数列的前6项和。 【答案】； ∵，， ∴。 【变式2】已知：{an}为等比数列，a1a2a3=27，S3 【答案】； ∵，，则a1=1或a1=9 ∴. 【变式3】在等比数列中，，，，求和。 【答案】或2，； ∵，∴ 解方程组，得或 ①将代入，得， 由，解得； ②将代入，得， 由，解得。 ∴或2，。 类型三：等比数列的性质 例3.等比数列中，若,求. 解析： ∵是等比数列，∴ ∴ 举一反三： 【变式1】正项等比数列中，若a1·a100=100;则lga1+lga2+……+lga100=_____________. 【答案】100； ∵lga1+lga2+lga3+……+lga100=lg(a1·a2·a3·……·a100) 而a1·a100=a2·a99=a3·a98=……=a50·a51 ∴原式=lg(a1·a100)50=50lg(a1·a100)=50×lg100=100。 【变式2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。 【答案】216； 法一：设这个等比数列为，其公比为， ∵，，∴， ∴。 法二：设这个等比数列为，公比为，则，， 加入的三项分别为，，， 由题意，，也成等比数列，∴，故， ∴。 类型四：等比数列前n项和公式的性质 例4．在等比数列中，已知，，求。 思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。 解析： 法一：令b1=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n 观察b1=a1+a2+……+an, b2=an+1+an+2+……+a2n=qn(a1+a2+……+an)， b3=a2n+1+a2n+2+……+a3n=q2n(a1+a2+……+an) 易知b1,b2,b3成等比数列，∴， ∴S3n=b3+S2n=3+60=63.