3.2.2用向量的方法求二面角.pptVIP

　课题：利用向量方法求二面角 探究新知 问题：法向量的夹角与二面角的大小是相等或互补。 再次演示课件 课后作业：第111页A组：6、8 谢谢 * 四、教学过程的设计与实施 l A B O 2、如何作二面角α—l—β的平面角？ 温故知新 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做 ，这条直线叫做 ， 这两个半平面叫做 . 二面角 二面角的棱 二面角的面 1、二面角的定义： 与面 如图， 是直角梯形， 所成的二面角的余弦值。 求面 你能找到所求二面角的棱吗？ 问题：二面角的平面角与两个半平面的法向量的夹角有没有关系？ l 探究新知 探究新知 探究新知 细心想一想， 你将有新发现！！ 尝试：已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0）， n=（0，1，1）,则两平面所成的二面角为( ) A.45° B.135° C.45°或135° D.90° 解析 即〈m,n〉=45°，其补角为135°. ∴两平面所成二面角为45°或135°. C 练一练 例1．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝FB＝1， (1)求二面角C—DE—C1的正切值； (2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值． 结论： 利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量。 利用法向量求二面角的平面角的一般步骤： 建立坐标系 找点坐标 求法向量坐标 求两法向量夹角 定值 例2：如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.求二面角A－BE－D的余弦值． 练习：若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ ，求二面角A—PB—C的余弦值． 小结： 1.利用法向量求二面角大小的优势： 避免了繁难的作、证二面角的过程，将几何问题转化为数值计算。 2.利用法向量求二面角大小的关键： 确定相关平面的法向量。 3.利用法向量求二面角大小的缺点： 计算量相对比较大。 当堂检测 与面 如图， 是直角梯形， 所成的锐二面角的余弦值。 求面 例题精讲 【审题指导】本题是求二面角的余弦值，可重点关注向量法求二面角的余弦值.本题的特点是图中没有出现两个平面的交线，不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角解决，利用法向量的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性 解： 则 设 是面SCD的法向量， 与面 如图，ABCD是直角梯形， 所成的二面角的余弦值。 求面 建立如图所示的空间直角坐标系 则 启示： 求二面角的平面角可转化为求两法向量的夹角。 是平面SAB的法向量， 就是二面角的平面角， 所求锐二面角的余弦值为： 令z=1解之得 结论： 利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量。 利用法向量求二面角的平面角的一般步骤： 建立坐标系 找点坐标 求法向量坐标 求两法向量夹角 定值 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC的中点，求锐二面角A—DQ—A1的余弦值． 巩固练习： x y z 小结： 1.利用法向量求二面角大小的优势： 避免了繁难的作、证二面角的过程，将几何问题转化为数值计算。 2.利用法向量求二面角大小的关键： 确定相关平面的法向量。 3.利用法向量求二面角大小的缺点： 计算量相对比较大。 课后思考 （2009·天津理，19） 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥ 平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥ AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE= . (1)求异面直线BF与DE所成的角的大小； (2)证明：平面AMD⊥平面CDE; (3)求锐二面角A—CD—E的余弦值. (1)解 如图所示，建立空间直 角坐标系，点A为坐标原点，设 AB=1，依题意得B(1,0,0), C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)， 所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°. (2)证明 又AM∩AD=A，故CE⊥平面AMD.而CE平面 CDE，所