电磁学梁 灿彬习题选解.doc

PAGE PAGE 48 电磁学习题解答 1．2．2 两个同号点电荷所带电荷量之和为Q。在两者距离一定的前提下，它们带电荷量各为多少时相互作用力最大？ 解答： 设一个点电荷的电荷量为，另一个点电荷的电荷量为，两者距离为r，则由库仑定律求得两个点电荷之间的作用力为 令力F对电荷量q的一队导数为零，即 得 即取 时力F为极值，而 故当时，F取最大值。 1．2．3 两个相距为L的点电荷所带电荷量分别为2q和q，将第三个点电荷放在何处时，它所受的合力为零？ 解答： 要求第三个电荷Q所受的合力为零，只可能放在两个电荷的连线中间，设它与电荷q的距离为了x，如图1.2.3所示。电荷Q所受的两个电场力方向相反，但大小相等，即 L L x L-x q Q 2q 得 舍去的解，得 1．3．8解答: （1）先求竖直无限长段带电线在O点产生的场强，由习题1.3.7（2）可知 仿习题1.3.7解答过程，得 故 同理，水平无限长段带电线在O点产生的场强 对于圆弧段带电线在O点产生的场强，参看图1.3.8（b），得 同理得 故 解得 （2）利用（1）中的结论，参看习题1.3.8图（b），的带电直线在O点的场强为 的带电直线在O点产生的场强为 根据对称性，圆弧带电线在O点产生的场强仅有x分量，即 故带电线在O点产生的总场强为 1．3．9解答: y y x z y x O (b) (a) 在圆柱上取一弧长为、长为z的细条，如图（a）中阴影部分所示，细条所带电荷量为，所以带电细条的线密度与面密度的关系为 由习题1.3.7知无限长带电线在距轴线R处产生的场强为 图（b）为俯视图，根据对称性，无限长带电圆柱面轴线上的场强仅有x分量，即 1．4．5解答： 如图所示的是该平板的俯视图，OO′是与板面平行的对称平面。设体密度，根据对称性分析知，在对称面两侧等距离处的场强大小相等，方向均垂直于该对称面且背离该面。过板内任一点P，并以面OO′为中心作一厚度、左右面积为S的长方体，长方体6个表面作为高斯面，它所包围的电荷量为，根据高斯定理。 前、后、上、下四个面的通量为0，而在两个对称面S上的电场的大小相等，因此 考虑电场的方向，求得板内场强为 式中：x为场点坐标 用同样的方法，以面为对称面，作一厚度为、左右面积为S的长方体，长方体6个表面作为高斯面，它所包围的电荷量为，根据高斯定理 前、后、上、下四个面的通量为0，而在两个对称面S上的电场的大小相等，因此 考虑电场的方向，得 1．4．8解答: (1)图1.4.8为所挖的空腔，T点为空腔中任意一点，空腔中电荷分布可看作电荷体密度为的实心均匀带电球在偏心位置处加上一个电荷体密度为的实心均匀带电球的叠加结果，因此，空腔中任意点T的场强应等于电荷体密度为的均匀带电球在T点产生场强与电荷体密度为的均匀带电球在T点产生场强的叠加结果。而与均可利用高斯定理求得，即 式中：为从大球圆心O指向T点的矢径；从小球圆心指向T点的矢径。 空腔中任意点T的场强为 因T点为空腔中任意一点，为一常矢量，故空腔内为一均匀电场。 （2）M点为大球外一点，根据叠加原理 P点为大球内一点，根据叠加原理，求得 1．4．9解答： 在均匀带电的无限长圆柱体内作一同轴半径为、长为L的小圆柱体，如图1.4.9（a）所示，小圆柱面包围的电荷量为 由高斯定理 根据对称性，电场仅有径向分量，因此，圆柱面的上、下底面的通量为0，仅有侧面的通量，则 解得柱体内场强 在均匀带电的无限长圆体外作一同轴半径为、长为L的小圆柱体（未画出），小圆柱包围的电荷量为 解得柱体外场强 柱内外的场强的-r曲线如图1.4.9（b）所示 1．4．10解答： (1) 作半径为、长为L的共轴圆柱面，图1.4.10（a）为位于两个圆柱面间的圆柱面，其表面包围的电荷量为 根据对称性，电场仅有径向分量，因此，圆柱面的上、下底面的通量为0，仅有侧面的通量，则在的区域II内，利用高斯定理有 解得区域II内的场强 同理，可求得的区域I中的场强 在的区域III中的场强 (2) 若，有 各区域的场强的E—r曲线如图1.4.10(b)所示。 1．5．2证明： （1）在图1.5.2中，以平行电场线为轴线的柱面和面积均为S的两个垂直电场线面元S1、S2形成一闭合的高斯面。面元S1和S2上的场强分别为和，根据高斯定理，得 证得 说明沿着场线方向不同处的场强相等。 （2）在（1）所得的结论基础上，在图1.5.2中作一矩形环路路径，在不同场线上的场强分别为和，根据高斯定理得 证得