逆矩阵及伴 随矩阵.ppt

河南财经学院 信息学院 廖扬 1、逆矩阵的概念 * * * * 第四节 逆矩阵及伴随矩阵 1 逆矩阵（P110，定义2.9） 一 基本概念 1.互逆矩阵可换，是同阶方阵。 即：若 成立，则 也成立。 2.逆矩阵唯一。 3.零矩阵不可逆；单位矩阵与其自身互为逆阵。 4. 注： 2 奇异矩阵： 【P111，例2】 【P111，例3】 【例】 3 伴随矩阵 二 逆矩阵存在定理 1.矩阵 可逆的充要条件是 　　　 2.若A可逆，则　　　 【P114，例4】 【P115，例5】 【P117，例6】 伴随 逆 转置 三 转置矩阵、逆矩阵、伴随矩阵的运算性质 【例】 使得 呢? 使得 即 对于任意非零的数 ，如果存在另一个数 ， 倒数： 则说 是 的倒数. 一、逆矩阵产生的背景 矩阵: 运算中的 1 ， 矩阵 ， 在矩阵的运算中， 单位阵 相当于数的乘法 那么，对于矩阵Ａ，是否存在另一个 例如 设 使得 则说矩阵 是可逆的， 并把矩阵 称为 的一个 逆矩阵， 记作 对于 阶矩阵 ，如果存在 阶矩阵 ， 定义2.4.1 事实上，若设 和 都是 的逆矩阵， 则有 可得 所以 的逆矩阵是唯一的。 2 奇异矩阵与非奇异矩阵 设 是奇异矩阵 是非奇异矩阵 , 0 , , 0 称为非奇异矩阵 时 当 称为奇异矩阵 时 当 A A A A 1 = 定义2 设 为 阶方阵， 的行列式 的元素 的代数余子式 所构成的矩阵的转置矩阵称为矩阵 的伴随矩阵。 即 记为 3 伴随矩阵 解： 【P114，例4】 求 的伴随矩阵。 逆矩阵的存在定理： 证明： 若 可逆， 矩阵 可逆的充要条件是 　　　 且当A可逆时　　　 按逆矩阵的定义得 牢记： 记住了吗？ 若 可逆，则 证明： 若 可逆，则 也可逆， 且 证明： 若 、 是同阶可逆阵，则 也可逆， 且 证明： 特别有： （反序定律） 证明： 求证 回顾 求证 证明： 求证 证明 若 可逆，则 也可逆， 且 证明： 求证 求证 证明 求证 证明 原命题得证 【P111，例2】 证明矩阵 证明： 的逆矩阵为 故，原命题得证 【P111，例3】 ，求证A可逆，并求其逆矩阵. 证明： 故，A可逆，且 由 ，得 【例】 可逆，并求它们的逆矩阵. 由 设方阵 满足方程 ，证明 证明 *