专题14.2 坐标与参数方程(原卷版).docVIP

PAGE18 / NUMPAGES18 第十四章 选讲部分 专题2 极坐标与参数方程（理科） 【考点1】极坐标 【备考知识梳理】 1．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面上取一个定点叫做极点； 自点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、 角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)． (2)极坐标：设是平面上的任一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为.有序数对称为点的极坐标，记作． 一般地，不做特殊说明时，我们认为，可取任意实数． 2．极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，轴正半轴作为极轴， 且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设是平面内的任意一点， 它的直角坐标、极坐标分别为和（），于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点 直角坐标 极坐标 互化公式 3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为的圆 圆心为，半径为的圆 圆心为，半径为的圆 过极点，倾斜角为的直线 (1)()　或() (2) ()和 () 过点，与极轴垂直的直线 过点，与极轴平行的直线 若圆心为，半径为的圆方程为. 4.注意：（1）在将直角坐标化为极坐标求极角时，易忽视判断点所在的象限(即角的终边的位置)． （2）在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．极坐标 ，，表示同一点的坐标． 【规律方法技巧】 1.确定极坐标方程的四要素 极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2.极坐标与直角坐标的互化 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正向重合；③取相同的单位长度． (2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换． (3)直角坐标化为极坐标的步骤 = 1 \* GB3 ①运用 = 2 \* GB3 ②在内由求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限． (4)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行． 3.求曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． 4.注意： (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一． (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性． 5.曲线的极坐标方程的应用：解决极坐标方程问题一般有两种思路．一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件． 【考点针对训练】 1.【2016届江西省萍乡市高三下学期第二次模拟】在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，由曲线上的点按坐标变换得到曲线. （1）求曲线的极坐标方程； （2）若射线和与曲线的交点分别为点，求. 2.【2016届云南省玉溪一中高三下第八次月考】极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为，射线θ＝，θ＝＋，θ＝－，θ＝＋与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D． （Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程； （Ⅱ）求｜OA｜·｜OC｜＋｜OB｜·｜OD｜的值． 【考点2】参数方程 【备考知识梳理】 1.参数方程的意义 在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标都是某个变量的函数并且对于的每个允许值，由方程组所确定的点都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数的变数是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2.常见曲线的参数方程的一般形式 (1)经过点，倾斜角为的直线的参数方程为 (为参数)． 设是直线上的任一点，则表示有向线段的数量． (2)圆的参数方程 (为参数)． (3)圆锥曲线的参数方程:椭圆的参数方程为 (为参数)． 双曲线的参数方程为 (为参数)． 抛物线的参数方程为 (为参数)． 3.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数中的一个与参数的关系，例如，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系，那么，就