讲座02待定系数法.doc

PAGE / NUMPAGES 待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。（表示恒等于） 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。 使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用． (一)求直线和曲线的方程 例1? 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程． 【解】? 设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得 依题意，列方程得 于是所求的直线方程为 8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0． 【解说】 ?(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数． (2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法． 例2 ?如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若 系，求曲线C的方程． 【解】? 如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点． 设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N 解之，得p=4，x1=1． 故曲线C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)． (二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质 例3 ?已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小． 【解】? 设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则 ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)． 从而由待定系数法，得 a＝mq，b＝mp＋nq，c=np． (1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为 即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2， 化简、整理，得 (nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0． ∵? L1、L2是两条不重合的直线 ∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即? mp-nq≠0． 从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0． 把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得 bx2+2(c-a)xy-by2＝0． 即为所求的两条角平分线方程． (2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°． 当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则 【解说】 ?一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便． (三)探讨二次曲线的性质 1．证明曲线系过定点 例4 ?求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标． 【证明】 ?把原方程整理成参数t的方程，得 (4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0． ∵? t是任意实数上式都成立， 【解说】? 由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是： (1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程； (2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组； (3)解这个方程组，即得定点坐标． 2．求圆系的公切线或公切圆 例5 ?求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0) 【解】? 将圆系方程整理为 [x-(2m+1)]2＋(y-m)2