(江苏专用)2019高考数学二轮复习总结专题七第1讲(必)立体几何中的向量方法、抛物线学案理.doc

PAGE PAGE 21 第1讲　立体几何中的向量方法、抛物线 高考定位　高考对本内容的考查主要有：(1)空间向量的坐标表示及坐标运算，属B级要求；(2)线线、线面、面面平行关系判定，属B级要求；(3)线线、线面、面面垂直的判定，属B级要求；(4)求异面直线、直线与平面、平面与平面所成角，属B级要求；(5)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，B级要求. 真 题 感 悟 1.(2018·江苏卷)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点. (1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值. 解　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，设AC，A1C1 的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))，eq \o(OO1,\s\up6(→))}为基底，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1，0)，B(eq \r(3)，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1(eq \r(3)，0，2)，C1(0，1，2). (1)因为P为A1B1的中点，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，2))， 从而eq \o(BP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，2))，eq \o(AC1,\s\up6(→))＝(0，2，2)， 故|cos〈eq \o(BP,\s\up6(→))，eq \o(AC1,\s\up6(→))〉|＝eq \f(|\o(BP,\s\up6(→))·\o(AC1,\s\up6(→))|,|\o(BP,\s\up6(→))|·|\o(AC1,\s\up6(→))|)＝eq \f(|－1＋4|,\r(5)×2\r(2))＝eq \f(3\r(10),20). 因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为eq \f(3\r(10),20). (2)因为Q为BC的中点，所以Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))， 因此eq \o(AQ,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)，0))，eq \o(AC1,\s\up6(→))＝(0，2，2)，eq \o(CC1,\s\up6(→))＝(0，0，2). 设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AQ,\s\up6(→))·n＝0，,\o(AC1,\s\up6(→))·n＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)x＋\f(3,2)y＝0，,2y＋2z＝0.)) 不妨取n＝(eq \r(3)，－1，1).设直线CC1与平面AQC1所成角为θ， 则sin θ＝|cos〈eq \o(CC1,\s\up6(→))，n〉|＝eq \f(|\o(CC1,\s\up6(→))·n|,|\o(CC1,\s\up6(→))|·|n|)＝eq \f(2,\r(5)×2)＝eq \f(\r(5),5)， 所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为eq \f(\r(5),5). 2.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0). (1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程； (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)； ②求p的取值范围. (1)解　∵l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2，0). 即抛物线的焦点为(2，0)，∴eq \f(p,2)＝2，∴p＝4.∴抛物线C的方程为y2＝8x. (2)①证明　设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(yeq \o\al(2,1)＝2px1，,yeq \o\al(2,2)＝2px2，))则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(yeq \o\al(2,1),2p)，,x2＝\f(yeq \o\al(2,2),2p)，)) ∴kPQ＝eq \f(y1－y2,\f(yeq \o\al(2,1),2p)－\f(yeq \o\al(2,2),2p))＝eq \f(2p,y1＋y2