讲义设计时间序列模型.doc

PAGE / NUMPAGES 自相关函数 以上介绍了随机过程的几种模型。实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。 1. 自相关函数定义 在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。由第一节知随机过程{xt}中的每一个元素xt，t = 1, 2, … 都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常数，用? 表示，即 E(x t) = ?, t = 1, 2, … (2.25) 随机过程的取值将以 ? 为中心上下变动。平稳随机过程的方差也是一个常量 Var(x t) = E [(xt - E(xt))2 ] = E [(xt - ?)2 ] = ?x2 , t = 1, 2, … (2.26) ?x2用来度量随机过程取值对其均值 ? 的离散程度。 相隔k期的两个随机变量xt 与xt - k 的协方差即滞后k期的自协方差，定义为 ?k = Cov (xt, x t - k ) = E[(xt - ? ) (xt - k - ? ) ] (2.27) 自协方差序列 ?k , k = 0, 1, …, K, 称为随机过程 {xt} 的自协方差函数。当k = 0 时 ?0 = Var (xt) = ?x2 退化成为方差。 自相关系数定义 ?k = （2.28） 因为对于一个平稳过程有 Var (xt) = Var (xt - k) = ?x2 (2.29) 所以（2.28）可以改写为 ?k = == （2.30） 当 k = 0 时，有 ? 0 = 1。 以滞后期k为变量的自相关系数列 ?k, k = 0, 1, …, K (2.31) 称为自相关函数。因为?k = ?- k 即Cov (xt - k , xt ) = Cov (xt , x t + k )，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可。 2.自回归过程的自相关函数 (1) 平稳AR(1)过程的自相关函数 AR(1) 过程如下 xt = ?? xt-1 + ut , ???? ? 1 用xt- k 同乘上式两侧 xt xt- k = ?? xt-1 xt- k + ut xt- k 两侧同取期望， ?k = ?1 ?k -1 其中E(ut xt- k) = 0（ut与其t - k期及以前各项都不相关）。两侧同除 ?0，并进行迭代计算得 ?k = ?1 ?k -1 = ?1 ?1 ?k -2 = … = ?1k ?0 因为 ?0 = 1。所以有 ?k = ?1k , （k ? 0） 对于平稳序列有 ? ??? ? ?。所以当 ?1为正时，自相关函数按指数衰减至零，当 ?1为负时，自相关函数正负交错地指数衰减至零。见图2.6。因为对于经济时间序列，?1一般为正，所以第一种情形常见。指数衰减至零的表现形式说明随着时间间隔的加长，变量之间的关系变得越来越弱。 ?? ? 0 （经济序列自相关函数常见形式） ?? ? 0 （经济序列自相关函数少见形式） 图2.6 AR(1) 过程的自相关函数 （2）AR(p) 过程的自相关函数 用xt - k , (k ? ?? 同乘平稳的 p阶自回归过程 xt = ? 1 xt -1 + ? 2 xt -2 +…+ ? p xt - p + ut (2.32) 的两侧，得 xt - k xt = ?1 xt - k xt -1 + ?2 xt - k xt -2 + … + ?p xt - k xt - p + xt - k ut (2.33) 对上式两侧分别求期望得 ?k = ?1 ?k -1 + ?2 ?k -2 + … + ?p ?k - p ， k ? 0