阶线性微分方程组阶微分方程组和解的存在唯性定理.doc

PAGE / NUMPAGES 第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时） 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理. 二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理. 三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 课题引入 在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质. 例如，已知在空间运动的质点的速度与时间及该点的坐标的关系为 且质点在时刻经过点，求该质点的运动轨迹。 因为和, 所以这个问题其实就是求一阶微分方程组 的满足初始条件 的解. 另外，在n阶微分方程 （1.12） 中,令就可以把它化成等价的一阶微分方程组 注意，这是一个含n个未知函数 的一阶微分方程组. 含有n个未知函数的一阶微分方程组的一般形式为： (3.1) 如果方程组(3.1)右端函数不显含, 则相应的方程称为是自治的. 方程组(3.1)在上的一个解，是这样的一组函数 使得在上有恒等式 含有n个任意常数 的解 称为(3.1)的通解. 如果通解满足方程组 则称后者为(3.1)的通积分. 如果已求得(3.1)的通解或通积分，要求满足初始条件 (3.2) 的解，可以把初始条件(3.2)代入通解或通积分之中，得到关于的n个方程式，如果从其中解得，再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解. 2 一阶微分方程组的向量和矩阵表示 　　为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(3.1). 令n维向量函数 并定义 则(3.1)可记成向量形式 (3.3) 初始条件(3.2)可记为 其中 (3.2)′ (3.3)的满足(3.2)′的初值问题可记为 (3.4) 这样，从形式上看，一阶方程组与一阶方程式完全一样了. 进一步，对n维向量Y和矩阵, 定义 易于证明以下性质： 1., 且, 当且仅当 ( 表示零向量，下同); 2.; 3.对任意常数，有; 4.; 5.; 6.对任意常数，有; 7.; 8. . 称和分别为向量和矩阵的范数. 进而还有如下性质 有了维空间的范数定义后，我们可以定义按范数收敛的概念. 即：如果对 上的任意x，有 则称 在 上按范数收敛于Y(x).如果上式对 上的x 为一致的，则称 在上 按范数一致收敛于. 　　另外, 如果对n维向量函数F(x)有 则称 在 连续. 如果 在区间 上每一点 都连续, 则称 在区间 上连续. 　　有了以上准备，完全类似于第二章定理2.2，我们有如下的关于初值问题(3.4)的解的存在与唯一性定理. 定理3.1 如果函数 在 维空间的区域 上满足： 1) 连续； 2) 关于满足李普希兹条件，即存在, 使对于上任意两点 ,有 则存在, 使初值问题(3.4)的解在 上存在且唯一，其中 . 　　定理的证明方法与定理2.2完全类似,也是首先证明(3.4)与积分方程 (3.5) 同解.为证(3.5)的解在 上的存在性，同样用逐次逼近法，其步骤可以逐字逐句重复定理2.2的证明.最后，唯一性的证明，同样用贝尔曼不等式完成. 对于方程组(3.3)也有类似第二章关于纯量方程(1.9)的解的延展定理和解对初值的连续依赖性定理，这只要在第二章相应定理中把纯量换成向量即可. 最后，我们要指出方程组(3.3)解的几何意义：我们已经知道，纯量方程(1.9)的一个解是二维空间平面上的一条曲线，或称为积分曲线，那么，很自然地有方程组(3.3)的一个解就是维空间中的一条曲线了，也称它为方程组(3.3)的积分曲线. 本节要点： 1．一阶微分方程组解的存在唯一性定理及解的几何意义. 2．一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理及其特征：系数和非齐次项连续区间上整体存在. HYPERLINK /media_file/rm/ip2/200