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利用前面学过的公理和定理,我们可以证明许多与四边形的有关结论. 九年级数学(上)第三章 证明(三) 3.1平行四边形(1) 平行四边形的性质 你还记得我们探索过的平行四边形的性质及判别条件吗? 平行四边形的性质 平行四边形的性质 等腰梯形的性质 等腰梯形的判定 平行四边形的性质 等腰梯形的性质 等腰梯形的判定 结束寄语 严格性之于数学家,犹如道德之于人. 条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则. 平行四边形的性质 平行四边形的性质 平行四边形的性质 等腰梯形的性质 * * 如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗? A B C H D E F G 你能利用公理和已有的定理证明它们吗? 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等. 平行四边形的对角线互相平分. 动,不如 来任意选取其中的一个来证明吧！ 定理1： 定理2： 定理3： 平行四边形的性质: ′ :夹在两条平等线间的平等线段相等. 已知:如图,直线MN∥PQ, 线段AB∥CD,且AB,CD与MN, PQ分别相交于点A,D,B,C. 求证:AB=CD. 证明: ∴MN∥PQ,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD. B D C A M N P Q 随堂练习 1 定理 证明 定理:平行四边形的对边相等. ′ 证明后的结论,以后可以直接运用. B D C A ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,BC=DA. 定理:平行四边形的对角相等. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴∠A=∠C, ∠B=∠D. 定理:平行四边形的对角线互相平分. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴CO=AO,BO=DO. B D C A O 定理:夹在两条平等线间的平等线段相等. ∵MN∥PQ,AB∥CD, ∴AB=CD. B D C A M N P Q 深化拓展 ′ 等腰梯形同一底上的两个角相等. 已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC. 求证:∠A=∠ADC, ∠B=∠C. B D C A E 1 定理 证明: 例题讲解 ′ :同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 已知:如图,在梯形ABCD中, AD∥BC, ∠B=∠C. 求证:AB=DC. B D C A E 1 证明:过点D作DE∥AB,交BC于点E. ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴ DE=DC. ∵AD∥BC,DE∥AB, ∴四边形ABED是平行四边形。 ∴AB=DE. ∵∠B=∠C. ∴AB=DC. 聪明在行动 定理 证明 定理:平行四边形的对边相等. ′ 证明后的结论,以后可以直接运用. B D C A ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,BC=DA. 定理:平行四边形的对角相等. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴∠A=∠C, ∠B=∠D. 定理:平行四边形的对角线互相平分. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴CO=AO,BO=DO. B D C A O 定理:夹在两条平等线间的平等线段相等. ∵MN∥PQ,AB∥CD, ∴AB=CD. B D C A M N P Q 小结 拓展 定理:等腰梯形同一底上的两个角相等. 定理:等腰梯形的两条对角线相等. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AB=DC, ∴AC=DB.. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AB=DC, ∴∠A=∠D, ∠B=∠C. B D C A B D C A 证明后的结论,以后可以直接运用. 小结 拓展 定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵∠A=∠D或∠B=∠C, ∴AB=DC. B D C A 证明后的结论,以后可以直接运用. 小结 拓展 已知:如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别交于点滴E,F. 求证:OE=OF. 证明: ∴OB=OD,AD∥BC. ∴ ∠1=∠2. ∵∠3=∠4, ∴△BOF≌△DOE(ASA). ∴OE=OF. ∵四边形ABCD是平行四边形, B D C A O E F 1 2 3 4 下课了! 证明:平行四边形的对边相等. B D C A 已知:如图,四边形ABCD是平行四边形. 求证:AB=CD,BC=DA. 证明:连接AC. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,BC∥DA. ∴∠1=∠2, ∠3=∠4. ∵AC=CA, ∴△ABC≌△CDA(ASA). ∴AB=CD,BC=DA. 1 2