几何学简史-江苏泰州中学.PPT

4、几何学的统一 二、几何学的变革 （欧几里得几何） 仿射几何 其他仿射几何 双曲几何 射影几何 （罗巴切夫斯基几何） 双重椭圆几何 （黎曼几何） 单重椭圆几何 抛物几何 并非所有的几何都能纳入克莱因的方案，例如今天的代数几何和微分几何，然而克莱因的纲领的确能给大部分的几何提供一个系统的分类方法，对几何思想的发展产生了持久的影响。 4、几何学的统一 二、几何学的变革 D. Hilbert, 1862-1943 公理化方法 1899年:《几何基础》 是从公理出发来建造各种几何。 希尔伯特在这方面的划时代贡献在于，他比任何前人都更加透彻地弄清了公理系统的逻辑结构与内在联系。 4、几何学的统一 二、几何学的变革 《几何基础》中提出的公理系统包括了20条公理，希尔伯特将它们划分为五组： 关联公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理。 在这样自然地划分公理之后，希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即 相容性:从系统的公理出发不能推出矛盾,亦称无矛盾性;独立性:系统的每条公理都不能是其余公理的逻辑推论;完备性:系统中所有的定理都可由该系统的公理推出。 在这样组织起来的公理系统中，通过否定或者替换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几何。 这样的做法，不仅给出了已有几门非欧几何的统一处理，而且还可以引出新的几何学。 江苏省泰州中学数学选修课 Email:deyinsong@163.com 数学史选讲 讲授人：扬子圣 江苏省泰州中学选修课 几何学的变革 1、近代几何学的进展 2、非欧几何学的诞生 3、射影几何学的繁荣 4、几何学的统一 1、近代几何学的进展 二、几何学的变革 基本问题：其一是，一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？其二是，若两物体在各自相异的光源下具有相同物影，那么这两个物体之间具有什么关系？ 1639年：《试论锥面截一平面所得结果的初稿》 对平行线引入无穷远点的概念，继而获得无穷远线的概念 ； 认识到了对合、调和点组关系在投影变换下具有不变性； 通过投影和截影这种新的证明方法，统一处理了不同类型的圆锥曲线。 1、近代几何学的进展 二、几何学的变革 德沙格等人把他们使用的投影分析方法和所获得的结果，仍旧视为欧几里得几何的一部分。因而在17世纪人们对这二种几何学并不加任何区分。 但现在的我们，通过历史的眼光回溯，便会很容易地发现，当时由于这一方法而诱发了一些新的思想和观点。那就是: 一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状； 变换与变换不变性； 仅关心几何图形的相交与结构关系, 不涉及度量问题。 1、近代几何学的进展 二、几何学的变革 解析几何 的基本思想是在平面上引进所谓坐标的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对之间建立一一对应关系。以此方式可以将一个代数方程与一条平面曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。 R. Descartes, 1596-1650 1、近代几何学的进展 二、几何学的变革 1637年:《方法论》 《几何学》 在实际上建立起了历史上第一个倾斜坐标系。 在笛卡尔那里， 几何与代数达到了 完美的统一。 R. Descartes, 1596-1650 1、近代几何学的进展 二、几何学的变革 P. de Fermat 1601-1665 1629 年： 《论平面和立体的轨迹引论》 二、几何学的变革 1、近代几何学的进展 2、非欧几何学的诞生 3、射影几何学的繁荣 4、几何学的统一 2、非欧几何的诞生 二、几何学的变革 直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。 欧几里得平行公设 ？？？？？ “几何原理中的家丑” —— 达朗贝尔 2、非欧几何的诞生 二、几何学的变革 1733年，萨凯里：《欧几里得无懈可击》 萨凯里四边形 锐角？直角？钝角？ 锐