上篇数学课程标准研究1数学与数学课程.PDFVIP

上篇 数学课程标准研究 1 数学与数学课程 数学是历史最悠久而又始终充满活力的人类知识领域，数学课程是每个 受教育的人需要学习的重要课程．正确认识数学和数学课程，对于提高数学 教学质量、全面实现教育目标具有重要意义． 1.1 数学的研究对象 数学本身是一个历史的概念，它的研究对象随着时代的变化而变化．纵 观数学的历史发展，人们认识到：尽管经过自古至今的漫长发展，现代数学 已是一个分支众多的庞大的知识系统，但整个数学始终是围绕着“数”与“形” 这两个基本概念的抽象、提炼而发展的，数学在各个领域中千变万化的应用 2011 也是通过这两个基本概念而进行的．因此，《义务教育数学课程标准（ 年版）》阐明：“数学是研究数量关系和空间形式的科学．”这是对数学研究对 1 ※ 数学课程与教材分析 象的一种表述．这里所说的数量关系与空间形式，既可以是来源于现实世界 的内容，也可以是数学自身逻辑的产物．对什么是数学的这一陈述，蕴含了 数学发展至今所经历的深刻变化． 从根本上说，数学的发展与人类的生产实践和社会需求密切相关．对自 然和社会的探索是数学研究最丰富的源泉，而几乎所有数学分支中那些最初 和最基本的问题都是由现实世界产生的．但是，数学的发展对于现实世界又 表现出相对的独立性．一门数学分支或一种数学理论一经建立，人们便可在 不受外部影响的情况下，仅靠逻辑思维将它向前推进，并由此导致了新概念 与新理论的产生（例如虚数、群论、非欧几何等）．当然这些基于数学内在逻 辑需要而产生的数学理论最终将回归现实，在现实世界的应用中接受检验， 并从现实世界获取进一步发展的动力．现实世界与数学内部之间这种反复呈 现的相互作用，在现代数学的发展中愈显突出，并赋予现代数学不同于一般 自然科学的特征． 1.2 数学的特点 准确理解和把握数学的特点，对于全面理解数学及其教育价值，做好数 2 数学与数学课程 ※ 学教学工作具有重要意义．从数学教育的角度来讲，数学具有如下特点： 1.2.1 抽象性 任何学科都具有抽象性，但数学与其他学科相比，抽象程度更高． 第一，数学学科是借助于抽象建立起来并借助抽象而发展的．一方面， 数学的每一个概念，不论是原始概念，还是被定义的概念，都是抽象的结果．许 多数学概念是在已有概念基础上再一次抽象而来的．由此可见，数学概念具 有多层次抽象的特点，每一次抽象都是理性思维的结果．数学的原理（包括 定理、法则）反映着数学概念与概念之间的关系，也是抽象的产物．概念间 的这种关系，往往不是自明的，需要对概念的各个特征进行分析，以发现两 者实质性的“联合”．同时，数学中的同一对象，它的抽象不一定是一次完成 的．如，点的概念，在现代数学中可以是欧氏空间的“没有部分的东西”，也可 以是“函数”空间中的一个函数；而在希尔伯特系统中，点只是受公理系统约束 的名称或术语而已．又如，曲线的概念、函数的概念、连续概念、空间概念， 以及与它们有关的数学原理，等等，都经历了一个不断抽象的过程．总之， 数学的全部对象，皆为抽象思维的产物或结果．另一方面，数学方法的使用， 只有借助于抽象才能实现．这里所说的数学方法，不仅有处理数学自身对象 3 ※ 数学课程与教材分析 的方法，如分析、证明及数学成果的扩展等，而且还有为解决实际问题而构 造数学模型的方法以及数学的变换方法、公理方法、对称方法、结构方法、 无穷小方法等．这些方法是人们在处理数学自身问题和运用数学知识解决实 际问题的过程中提炼出来的，这种提炼本身就是一种抽象．同时，这些方法 的运用一般都要经历一个变化或转换的过程，这也涉及抽象．特别是现代数 学，普遍采用公理化的方法，公理的选择本身就是一种抽象．如布尔巴基 Bourbaki （