生活中优化问题举例.ppt

[例1]在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去四个边长均为相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，高是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ [分析]　根据所给几何体的体积公式建模． [解析]　设箱高为xcm，则箱底边长为(60－2x)cm，则得箱子容积V是x的函数， V(x)＝(60－2x)2·x(0x30) ＝4x3－240x2＋3600x. ∴V′(x)＝12x2－480x＋3600， 令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去) 当0x10时，V′(x)0， 当10x30时，V′(x)0. ∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值． 答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大． [点评]　在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值．不必再与端点的函数值进行比较． [例3]某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省? [分析]　根据题意，月收入＝月产量×单价＝px月利润＝月收入－成本＝px－(50000＋200x) (x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值． 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元． [点评]　建立数学模型后，注意找准函数的定义域，这是此类题解答过程中极易出错的地方． 生活中的优化问题举例 -----优化问题与导数的综合应用 问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗? 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? [例2]某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成本是0.8πr2分.已知每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm. １）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？ ２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是 令 当 当半径r＞２时，f ’(r)0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高； 当半径r＜２时，f ’(r)0 它表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低． 2 3 1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0, 2、当半径为6cm时，利润最大。 从图中可以看出: 从图中，你还能看出什么吗？ R R h 解 ：设圆柱的高为h,底面半径为R. 则表面积为 又 (定值), 即h=2R. 可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点. 答 ：罐高与底的直径相等时, 所用材料最省. 练1：学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 , 上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为 dm，则版心的宽为 dm,此时四周空白面积为 : 求导数，得 令 解得 舍去）。 于是宽为 0；当 当 时， 时， 0. 因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。 答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。 解法二：由解法(一)得 回顾总结: 利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题 用函数表示数学问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 建立数学模型 解决数学模型 作答 解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。 作业及练习