初三数学技巧：解斜三角形（正余弦定理灵活应用）.docVIP

解斜三角形（正余弦定理灵活应用） 1.正弦定理： ===2R.（关键点“比”） 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理： a2=b2+c2－2bccosA；① b2=c2+a2－2cacosB；② c2=a2+b2－2abcosC. ③ 在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2. cosA=； cosB=； cosC=. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来理解”. 判断三角形的形状： 1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ） 答案：C A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 2.下列条件中，△ABC是锐角三角形的是（ ） 答案：C A.sinA+cosA= B.·＞0 C.tanA+tanB+tanC＞0 D.b=3，c=3，B=30° 解析：由sinA+cosA= 得2sinAcosA=－＜0，∴A为钝角. 由·＞0，得·＜0，∴cos〈，〉＜0.∴B为钝角. 由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）·（1－tanAtanB）+tanC＞0. ∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角. 由=，得sinC=，∴C=或. 3.在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状. 解：a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形. 解斜三角形（求角度和长度） 4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，则∠A=_______. 解析：由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc.∴=.∴∠A=. 答案： 5.在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1 sinA＞；sinA＞30°＜A＜150°A＞30°答案：B 6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______. 解析：由S=（a2+b2－c2）得absinC=·2abcosC.∴tanC=1.∴C=. 答案：45° 7.△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B. 证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC） sin2A－sin2B=sinBsinC－=sinBsin（A+B）（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B） sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B）， 因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只能有A－B=B，即A=2B. 该题若用余弦定理如何解决? 解：利用余弦定理，由a2=b（b+c），得cosA===， cos2B=2cos2B－1=2（）2－1=－1=. 所以cosA=cos2B.因为A、B是△ABC的内角，所以A=2B. 评述：高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷. 8.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（ ） 答案：B A. B.1+ C. D.2+ 解析：2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面积为，且∠B=30°，故由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦定理，得cosB====，解得b2=4+2.又b为边长，∴b=1+.