大学数学(高数微积分)第九章欧几里得空间第二节课件(课堂讲义).pptVIP

再把它们单位化, 取 则 e1 , e2 , e3 即为所求. 例 1 中各向量如图 9-1 所示. 用解析几何的术 语解释如下: 四、正交矩阵 设 ?1 , ?2 , … , ?n 与 ?1 , ?2 , … , ?n 是欧氏空间 V 中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是 A = (aij)，即 因为 ?1 , ?2 , … , ?n 是标准正交基，所以 (?i ,?j) = 1, 当 i = j , 0, 当 i ? j . (4) 矩阵 A 的各列就是 ?1 , ?2 , … , ?n 在标准正交基 ?1 , ?2 , … , ?n 下的坐标，按公式 (3)，(4) 式可以表 a1ia1j + a2ia2j + … + anianj = 1, 当 i = j , 0, 当 i ? j . (5) 示为 (5) 式相当于一个矩阵的等式 ATA = E ， (6) 或者 A-1 = AT . 定义 7 n 级实数矩阵 A 称为正交矩阵，如 果 ATA = E . 因此，以上分析表明，由标准正交基到标准正 交基的过渡矩阵是正交矩阵； 反过来，如果第一组 基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么 第二组基一定也是标准正交基. 最后我们指出，根据逆矩阵的性质，由 ATA = E 即得 AAT = E . 写出来就是 ai1aj1 + ai2aj2 + … + ainajn = 1, 当 i = j , 0, 当 i ? j . (7) (5) 式是矩阵列与列之间的关系，(7) 式是行与行之 间的关系，这两组关系是等价的. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. * qw 主要内容 第二节 标准正交基 定义 标准正交基的求法 正交矩阵 举例 一、定义 1. 正交向量组的定义 定义 5 欧氏空间 V 中一组非零的向量，如 果它们两两正交，就称为一正交向量组. 应该指出，按定义，由单个非零向量所成的向 量组也是正交向量组. 当然，以下讨论的正交向量 组都是非空的. 2. 正交向量组的性质 性质 正交向量组是线性无关的. 证明 设 ?1 , ?2 , … , ?m 是一正交向量组， k1 , k2 , … , km 是 m 个实数，且有 k1 ?1 + k2 ?2 + … + km?m = 0 . 用 ?i 与等式两边作内积，得 ki (?i , ?i ) = 0 . 由 ?i ? 0，有 (?i , ?i ) 0 ，从而 ki = 0 ( i = 1, 2, …, m) . 证毕 这个结果说明，在 n 维欧氏空间中，两两正交 的非零向量不能超过 n 个. 这个事实的几何意义是 清楚的. 例如，在平面上找不到三个两两垂直的非 零向量； 在空间中，找不到四个两两垂直的非零向 量. 从解析几何中看到，直角坐标系在图形度量性 质的讨论中有特殊的地位. 在欧氏空间中，情况是 相仿的. 3. 正交基的定义 定