大学数学(高数微积分)第三章线性方程组第四节课件(课堂讲义).pptVIP

2. 矩阵的秩与行列式的关系 为了建立一般矩阵的秩与行列式的关系，引入 定义 18 在一个 s ? n 矩阵 A 中任意选定 k 行和 k 列，位于这些选定的行和列的交点上的 k2 个 元素按原来的次序所组成的 k 级行列式，称为 A 的 一个 k 级子式. 例如，在矩阵 中，选第 1, 3 行和第 3, 4 列，它们交点上的元素 所成的 2 级行列式 就是一个 2 级子式. 又如选第 1, 2, 3 行和第1, 2, 4 列，相应的 3 级子式就是 由于行和列的选法有很多，所以 k 级子式也是 很多的. s ? n 矩阵的 k 级子式共有 个. 矩阵的秩与行列式的关系表现为： 定理 6 一矩阵的秩是 r 的充分必要条件为 矩阵中有一个 r 级子式不为零，同时所有 r + 1 级 子式全为零. 证明 先证必要性. 设矩阵 A 的秩为 r . 这 时，由 知矩阵 A 中任意 r + 1 个行向量 都线性相关，矩阵 A 的任意 r + 1 级子式的行向量 也线性相关. 由 这种子式全为零. 现在 来证矩阵 A 中至少有一个 r 级子式不为零. 因为 的秩为 r，所以在 A 中有 r 个行向量线性无关，不 妨设就是前 r 个行向量. 把这 r 行取出来，作一新 的矩阵 显然，矩阵 A1 的行秩为 r ，因而它的列秩也是 r， 这就是说，在 A1 中有 r 列线性无关. 不妨设前 r 列线性无关，因之，行列式 它就是矩阵 A 中一个 r 级子式. 这就证明了必要性. 再证充分性. 设在矩阵 A 中有一 r 级子式不为 零，而所有 r + 1 级子式全为零. 我们证明 A 的秩 为 r . 首先我们指出，由行列式按一行展开的公式可 知，如果 A 的 r + 1 级子式全为零，那么 A 的 r + 2 级子式也一定为零，从而 A 的所有级数大于 r 的子 式全为零. 设 A 的秩为 t . 由必要性，t 不能小于 r ，否 则 A 的 r 级子式就全为零了. 同样，t 也不能大于 r ，否则 A 就要有一个 t ( t ? r + 1 ) 级子式不为零, 而按照假定这是不可能的. 因而 t = r，这就是要证 明的结论. 证毕 例 2　利用下列模型求矩阵的秩. 三、矩阵秩的求法 1. 矩阵秩的计算方法 计算矩阵秩的一个较有效的方法是：用初等 行变换把它变成阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵中非 零行的个数就是原来矩阵的秩. 2. 向量组秩的计算方法 向量组秩的计算方法是：把向量组中的每一 个向量作为矩阵的一行 (或列) 构成矩阵，则这个矩 阵的秩即为所给的向量组的秩. 3. 向量组的极大线性无关组的求法 求向量组的极大线性无关组的方法是：把向量 组中的每一个向量作为矩 阵的一列构成一个矩阵, 然后用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵， 在阶梯形矩阵中，每个阶梯中的第一个非零元所在 的列所对应的向量即为极大线性无关组中的向量. 若要用极大线性无关组来表示其余向量，则需进一 步把阶梯形矩阵化成行最简形，这时，不在极大线 性无关组中的列中的元素即为用极大线性无关组表 示该列所对应的向量的表示系数. 例 3 求下列矩阵的秩 单击这里 开始 例 4 求下列向量组的秩、一个极大线性无关 单击这里 开始 组并用极大线性无关组来表示其余向量. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课,