大学数学(高数微积分)第四章矩阵第七节课件(课堂讲义).pptVIP

主要内容 分块初等矩阵 第七节 应用举例 分块乘法的初等变换及应用举例 一、分块初等矩阵 1. 定义 定义15 把单位矩阵 E 如下进行分块： 对它进行三种初等变换所得到的矩阵称为分块初 等矩阵. 分块初等矩阵有以下三种： 1) 分块对换矩阵 对换两行(列)所得到 2) 分块倍乘矩阵 矩阵 P 所得到 3) 分块倍加矩阵 某一行(列)左乘(右乘)一个 一行(列)加上另一行(列)的 P (矩阵)倍数所得到 2. 分块初等矩阵的性质 和初等矩阵与初等变换的关系一样，分块初等 矩阵有与初等矩阵类似的性质： 用分块初等矩阵左乘分块矩阵 A, 在保证可乘的 情况下，其作用相当于对分块矩阵 A 进行一次相应 的初等行变换； 用分块初等矩阵右乘分块矩阵 A， 其作用相当于对分块矩阵 A 进行一次相应的初等列 变换. 例如，设有如下分块矩阵 分别用三种分块初等矩阵左乘它，其结果如下： 分别用三种分块初等矩阵右乘它，其结果如下： 在 中，适当先择 P，可使 C + PA = O . 例如 A 可逆 时，选 P = - CA-1，则 C + PA = O . 于是上式右端 成为 这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其他问 题时是比较方便的，因此这种运算非常有用. 二、应用举例 例 1 设 其中 A，D 可逆，求 T -1 . 解 因为 且 所以 例 2 设 其中T1 , D可逆，试证(A - BD-1C)-1 存在，并求T1-1. 证明 因为 因为 T1 可逆，对它进行初等变换后仍可逆，即 可逆，故 (A - BD-1C)-1 存在. 由 解得 再由例 1，得 例 3 证明行列式的乘积公式 | AB | = | A | | B |. 证明 作 设 A，B 为 n ? n 矩阵，作 i , j = 1, 2, … , n , 这里 Eij 为 n ? n 矩阵，除了第 i 行第 j 列元素为 aij 外，其他元素皆为零. 则由初 等矩阵与初等变换的关系，易得下列关系式 又由 Pij 所对应的初等变换是某行加上另外一行的 倍数，它不改变行列式的值，故 (第二章第六节 ) 又因为矩阵 作 n 次列对换可变成矩阵 即 第 j 列与第 n + j 列对换 j = 1, 2, … , n 所以 这就证明了 | AB | = | A | | B |. 证毕 例 4 设 A = ( aij )n ? n , 且 则有下三角形矩阵 Bn ? n 使 BA = 上三角形矩阵. 证明 对 n 作归纳法. 当 n = 1 时，一阶矩阵 既是上三角形又是下三角形，故命题成立. 设对 n - 1 命题为真，我们来看 它仍满足命题中所设的条件. 由归纳法假设，有下 三角形矩阵 ( B1 )( n - 1) ? ( n - 1) 满足 B1A1 = 上三角形矩阵. 对 A 作如下分块： 则 再作 这时矩阵已成为上三角形了. 将两次乘法结合起来 就得到： 此即为所要求的下三角矩阵. 证毕 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回