大学数学(高数微积分)平面点集与多元函数课件(课堂讲义).pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 注 此例指出了如下两个重要结论: (i) 闭集也可用“ ”来定义 ( 只是使用 起来一般不如“ ”方便, 有许多便于应用的性质 )． (ii) 闭集与开集具有对偶性质 集; 过讨论 来认识 E. §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 利用此性质, 有时可以通 开集的余集为闭集. ——闭集的余集为开 因为有关聚点 例5 以下两种说法在一般情形下为什么是错的? (i) 既然说开域是“非空连通开集”，那么闭域就是 “非空连通闭集”； (ii) 要判别一个点集 是否是闭域, 只要看其去除 边界后所得的是否为一开域, 即 答 (i) 例如取 这是一个非空连 坐标轴) 的并集 (即 从而 G 不是开域, 但因它是 与其边界 (二 §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 故 S 不是闭域 (不符合闭域的定义). 通闭集. E 为一开域, 据定义 F 则为闭域； §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 (a)中的点集为 D; (a) (c) 中的点集为 (c) (ii) 如图所示, (b) (b)中的点集为 易见 然而 定义1 1. 平面点列的收敛性定义及柯西准则 系完备性的几个等价定理, 现在把这些定理推广到 R2, 它们同样是 二元函数极限理论的基础. 设 为一列点, 为一固定点. 则称点列 { Pn } 收敛于点 P0 , 记作 §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 R2上的完备性定理 论的基础. 反映实数 构成了一元函数极限理 同样地有 由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限, 因 此立即得到下述关于平面点列的收敛原理. §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 定理16.1（柯西准则） 收敛的充要条件是: 证（必要性） 应用三角形不等式, 立刻得到 §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 定理16.1（柯西准则） 收敛的充要条件是: §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 当 (6) 式成立时, 同时有 这说明{ xn }和{ yn }都满足关于数列的柯西准则, 所以它们都收敛. 　 从而由点列收敛概念, 推知{Pn}收敛于点 P0(x0, y0). 证（充分性） ( 这是一个重要命题, 证明留作习题.) §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 定理16.2（闭域套定理） 2. 区域套定理. 设 { Dn } 是 R2 中的一列闭域, 它满足： 则存在唯一的点 图 16 – 7 证 如图16 – 7所示, 从而有 由柯西准则知道存在 任意取定 n, 对任何正整数 p, 有 §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 任取点列 再令 由于 Dn 是闭域, 故必定是闭集, 推论 因此 Dn 的聚点必定属于 Dn , 最后证明 的惟一性. 若还有 则由 对上述闭域套 { Dn }, §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 则得 注 把 { Dn } 改为闭集套时, 上面的命题同样成立. 定理16.3（聚点定理） 证 现用闭域套定理来证明. 有界, 故存在一个闭正方形 . 如图 16 – 8 所示, 把 D1分成四个 相同的小正方形, 有一小闭正方形含有 E 中无限多 图16 –8 §1平面点集与多元函数 平面点集 R2上的完备性定理 二元函数 n元函数 若 为有界无限点集, 由于 E 则在其中至少 个点, 在 中至少有一 则 个聚点.