初等数论(闵嗣版)课件.ppt

二、取整函数的一个应用 例3、求50！中3的最高幂 [3（50！）=16+5+1] 例4、求1000！的十进制表示式中末尾连续零的个数 解：1000！的十进制表示式中因子5的个数等于因子 10的个数，所以1000！的十进制表示式中末尾连续零 的个数等于因子5的个数，即 对于一个给定的整数，我们根据上述定理不仅可以 判别它是否是素数，且还可以找出所有不大于它的素数 把1划去，剩下第一个数是2,2是素数。从2起划去它 后面所有2的倍数，剩下的第一个数是3，它不是2的倍 所以它是素数。 依次，当我们把所有的不大于 的素数。 这种方法是希腊时代幼拉脱斯展纳发明的， 好像用筛子筛出素数一样，称幼拉脱斯展纳筛法。 数的素性检验方法问题在近几年得到了飞速的发展, 若用计算机编成程序,对于10位数,几乎瞬间即可完成, 对于一个20位数,则需要2个小时,对于一个50位数就需 要一百亿年,令人吃惊的是,要检验一个一百位数,需要 的时间就猛增到10^36年.到了1980年,这种困难的情况 得到了改观,阿德曼(Adleman),鲁梅利(Rumely),科恩 (Cohen),和伦斯特拉(Lenstra)研究出一种非常复杂的 过去,要检验一个数是否是素数，最简单方法是试除法， 检验一个20位数只消10秒钟,对于一个50位数用15秒钟, 100位数用40秒钟,如果要他检验一个1000位数,只要用 一个星期也就够了.但是大部分的素性检验法都不能分 解出因数来,只能回答一个数是否是素数. 技巧,现在以他们的名字的首字母命名的ARCL检验法 定理3、素数的个数是无穷的。 注：2000多年前，古希腊数学家欧几里得（前330- 前275），著有《几何原本》，他在此书中率先证明了 素数的无限性，这个证明一直被当作数学证明的典范， 受到历代数学家的推崇，因为这一定理及其证明既简洁、 优美而不失深刻。其证明思路如下： 证明: 假设正整数中只有有限个质数，设为 下面介绍与素数有关的某些问题 1、费马数： 费马在1640年设计了一个公式，给出一些素数。 然而他大错特错了！只有五个素数被发现是遵从于这个 公式的，它们是3,5,17,257和65537,分别对应于n=0,1,2,3,4 2、费马数与尺规作图的联系： 尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。尺规作图 瑞士科学家欧拉于1732年举出 故费马的猜测不正确。 规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并 非完全相同：1、直尺必须没有刻度，无限长，且只能 使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起， 不可以在上画刻度； 2、圆规可以开至无限宽，但上面 亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。 只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。尺 是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且 一般地，任意正n边形有以下结论： 3、梅森数 梅森数(Mersenne number)是指形如2^p－1的正整数， 其中指数p是素数，常记为Mp 。若Mp是素数，则称 为梅森素数。 早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得 就开创了研究2^P－1的先河，他在名著《几何原本》 第九章中论述完美数时指出：如果2^P－1是素数， 则(2^p－1)2^(p－1)是完美数。 梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上 ，对 2^P－1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的 《物理数学随感》一书中断言：对于p=2，3，5，7， 13，17，19，31，67，127，257时，2^P－1是素数 而对于其他所有小于257的数时，2^P－1是合数。 前面的7个数属于被证实的部分，是他整理前人的工作 得到的；而后面的4个数属于被猜测的部分。 值得提出的是：虽然梅森的断言中包含着若干错误， 但他的工作极大地激发了人们研究2^P－1型素数的热情， 在梅森素数的基础研究方面，法国数学家鲁卡斯和美国 数学家雷默都做出了重要贡献；以他们命名的“鲁卡斯- 雷默方法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。 此外，中国数学家和语言学家周海中给出了梅森素数分 布的精确表达式，为人们寻找梅森素数提供了方便；这 一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。 2005年，美国数学家C.Cooper和S.Boone领导的科 研小组发现了第43个梅森素数，该素数有9 152 052位数， 是目前知道的最大的素数， 该素数是： 关于梅森数有下列的一个命题： 二、算术基本定理 1、定理4 任一大于1的整数能表成素数的乘积， 即任一大于1的整数 此为算术基本定理。 2、正整数的标准分解式 推论4.1 任一大于1的整数a能够唯一地写成 推论4.2