第二章习题解题过程及答案.docVIP

2-1 试建立题2-1图所示各系统的微分方程 [其中外力，位移和电压为输入量；位移和电压为输出量；（弹性系数），（阻尼系数），（电阻），（电容）和（质量）均为常数]。 解： 2-1(a) 取质量m为受力对象，如图，取向下为力和位移的正方向。作用在质量块m上的力有外力f(t)，重力mg，这两个力向下，为正。有弹簧恢复力和阻尼力，这两个力向上，为负。其中，为、物体处于静平衡位置时弹簧的预伸长量。 m m 根据牛顿第二定理，有 其中：代入上式得 整理成标准式： 或也可写成： 它是一个二阶线性定常微分方程。 2-1(b) 如图，取A点为辅助质点，设该点位移为，方向如图。再取B点也为辅助质点，则该点位移即为输出量，方向如图 A A B A点力平衡方程： ① B点力平衡方程： ② 由①和②: 得： 二边微分： ③ 将③代入②： 整理成标准式： 或也可写成： 它是一个一阶线性定常微分方程。 2-1(c) 如图，由电路理论的基尔霍夫定律： ，其中，是上的压降。 即得： ① 又因为： ② 输出为： 将①和②代入上式： ③ 整理成标准式： 或也可写成： 2-1(d) 把电路图画成如下形式，或许看得更清楚一些。 由图中可见： 两边微分并整理： ① ①式两边再次微分以备后用： ② 图中上面两条并联支路两端的电压应相等： 整理得： ③ 将①式和②式代入③式： ④ ④式两边微分以备后用： ⑤ 再观察图中，添加辅助电压，有： ⑥ 且有： 此二式均代入⑥式： 两边微分并整理： ⑦ 将①、④、⑤三式代入⑦式，并经整理，有： 或也可写成： 解法二：本题以上的求解过程较为繁复。但采用电工学中的等效阻抗法求解要方便得多，见下。 由图可写出如下方程： ⑴ ⑵ ⑶ 联立式⑴、⑵、⑶，消去中间变量，可得： 微分方程为： 2-2 试证明题2-2图中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。 解： 2-2(a) 见题图，取辅助点A、B两点。 A点力平衡方程： ① B点力平衡方程： ② ①式两边拉氏变换： ③ ②式两边拉氏变换： 整理上式： ④ ④式代入③式，并整理得传递函数： 或写成： ⑤ 2-2(b) 可以采用等效阻抗法。见题图，红色虚线框内分别是两个复数阻抗： 为并联： 为串联： 而输出输入关系为： 两边拉氏变换： 整理得传递函数： ⑥ 比较两个传递函数⑤式和⑥式，二者在结构上完全相同；二者在参数上也呈对应关系： 即： 所以两个系统是相似系统。 2-3 求下列函数的拉氏变换。 解：查拉氏变换表中序号2、3和4，然后迭加即可： 解：查拉氏变换表中序号8和序号9，然后迭加即可： 解：查拉氏变换表中序号5和6，然后迭加即可： 解：利用拉氏变换表中序号7： 解：可以利用延迟定理求解。 第一步，根据拉氏变换表中序号7公式，即： 当 ① 时，有 又根据教材P22延迟定理公式（2-10），当时，即 当 ② 时，其拉氏变换变为 ③ 用代入表达式②： ④ 根据③，其拉氏变换变为 ⑤ 第二步，本题化为④式形式，即： 根据⑤，其拉氏变换变为： 2-4 试求题2-4图所示各信号的象函数。 解：2-4(a) 其中， 各自的象函数为： 对于： 对于，为延迟时间的斜坡函数，可应用延迟定理。已知单位斜坡函数的象函数为，由延迟定理，其延迟时间的象函数为。 得： 解：2-4(b) 本小题的解题思路与(a)相同，可应用延迟定理。 （1）由图可知，由4个分段阶跃函数组成，即： 后3个阶跃函数分别延迟了时间，只要在各自对应的象函数乘以延迟因子即可，即： 解：2-4(c) 解题思路与(a),(b)相同，仍是应用延迟定理。 T T 2-5 求下列各拉氏变换式的原函数。 解： 拉氏反变换(查表)： 解： 令，得 故 由待定系数法求得 即 拉氏反变换(查表)： 解： 令，得 故 由待定系数法求得 即 拉氏反变换(查表)： 解： 令，则 由于，根据延迟定理，有 所以， 解： 原式 ＝ 所以， 2-6 已知在零初始条件下，系统在单位阶跃作用时，输出响应为，试求系统的传递函数。 解： 单位阶跃输入时，有，依题意 则系统的传递函数： 2-7 已知系统的微分方程为，试求解系统在零初始条件下，输入作用下的输出。 解： 对微分方程两边进行拉氏变换： 即： 单位阶跃输入时，有，代入上式： 对上式进行拉氏反变换，即得输出： 2-8 试求解微分方程，设初始条件为零。 解： 解法与2-7类似： 对上式进行拉氏反变换，即得输出： 2-9 求题2-9图所示各有源网络的传递函数。 题2-9图 解： 2-9(a) 根据运算放大器“虚地”概念(参电路原理知识)，可写出 2-9(b) 根据复数阻抗概念，参(a)： 其中，（串联），（并联） 故 2-9(c) 根据复数阻抗概念，参(a)：