超越函数突破应对策略.pdf

超越函数的突破应对策略 南昌二中 周启新 y ex 与y  ln x 是两个基本的超越函数，它们的很多性质在解题中有着非常 x e  x1 x  0 重要的作用，例如两个重要不等式 （ 时等号成立）， ln x  x1 x  1 （ 时等号成立）成为不等式放缩的重要工具． x 我们将这两个函数与 进行不同的组合，得到一系列的超越函数， 通过研究它们的图像和性 ，挖掘它们在解题中的重要作用． 一、函数y xex 的性 和应用． 【函数的性 】 y  (x 1)e x ，当x 1时，  ；当x 1时，  ． y  0 y  0 所以函数y xex 在(, 1) 上单调递减，在(1, ) 上单调递增． 【函数的图像】 1 1 函数y xex 的图像如图所示，当x 1时，函数有最小值 ，即 x 恒成立。当x  0 时， ，  xe  y  0 e e x x 图像在 轴的下方，当x 0 时，y  0 ，图像在 轴的上方． 【例题 1】（2013 年高考福建卷文科第 22 题） a e 已知函数 （ ， 为自然对数的底数）． f (x) x 1 x aR e x a （1）若曲线y  f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线平行于 轴，求 的值； （2 ）求函数f (x) 的极值； （3 ）当 的值时，若直线 与曲线 没有公共点，求 的最大值． a 1 l: y kx1 y  f (x) k 1 x 【分析】第 （Ⅲ）问即方程 k 1 x 没有实根，可以考虑分离变量，同时出现xe 的组合， 数形结   x e 合，转化为两个函数图像没有交点的问题． 【解析】 （Ⅰ） 略； （Ⅱ）略； 1 （Ⅲ）当a 1时，f x x 1 ．   x e 1