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《巧填幻方》奥数题解答技巧
《奥赛天天练》第25讲《巧填幻方》。
概念:如果一个n×n 矩阵(教材中表现为方格图)的每行,每列及两条对角线的元素之和都相等,且这些元素都是从1到 n×n 的自然数,这样的矩阵就称为n阶幻方。有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年,这是一类形式独特的填数字问题。本讲主要介绍比较简单的三阶幻方的填写,三阶幻方就是n=3时的幻方。
三阶幻方的填法:三阶幻方传说最早出现在夏禹时代的“洛书” ,在北周的甄弯注《数术记遗》一书中记有三阶幻方的填法:九宫者,二四为肩,六八为足,左七右三,戴九履一,五居中央。
三阶幻方的构造方法:我国南宋时期杰出的数学家杨辉,是最早系统研究幻方的数学家。他曾将幻方命名为“纵横图” (三阶幻方也叫络书或九宫图), 并给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明,四阶以上幻方,杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误。杨辉在在《续古摘奇算法》中,总结出了三阶幻方构造的方法:“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出。”意思是:先把l~9九个数依次斜排(如下图一),再把上l下9两数对调(如下图二),左7右3两数对调(如下图三),最后把四面的2、4、6、8向外面挺出(如下图四),这样就构造了一个三阶幻方。
1 9 9
4 2 4 2 4 2 4 9 2
7 5 3 3 5 7 3 5 7 3 5 7
8 6 8 6 8 6 8 1 6
9 1 1
图一 图二 图三 图四
三阶幻方的填法不是唯一的,矩阵的第一行与第三行对调,或第一列与第三列对调,可以得出4种填法,将其中的任意一种填法旋转90°,又可以得到另外的4种填法。例如,将上面图四的第一列与第三列对调,就可以得出前面口诀中的填法。
三阶幻方的构造原理:通常我们把幻方中每行3个数的和称为幻方的幻和,幻方正中心的那个数叫做中心数,中心数也就是这9个数的中位数。从1到9这9个数的和为:1+2+3+…8+9=45;则三阶幻方每行3个数字之和即幻和为:45÷3=15。在1到9这9个数中,和为15的3个数,只能是:9+5+1、9+4+2、8+6+1、8+5+2、8+4+3、7+6+2、7+5+3、6+5+4。因此每行、每列、每条对角线上3个数只能是其中某个算式中的3个数。
仔细分析九宫格,经过中心数的有一行、一列和两条对角线,即这个数必须在4个不同的算式中出现,在上面的算式中只有5符合要求。同理,经过九宫格四个角上的数字都有一行、一列和一条对角线,即四个角上的数字必须同时在3个不同的算式中出现,只有2、4、6、8符合要求。先填好中心数和四个角上数字,再完成其它填空,就完成幻方填写了。
在教学时,可引导孩子发现三阶幻方中数字有趣的排列顺序,如四个偶数在四角,从某个方向看奇偶数的是按大小有序排列的等等;让孩子在了解构造方法的基础上熟记简单三阶幻方的填法口诀,填写三阶幻方的9个数,不论如何变化,只要将它们按大小的顺序排列编号,均可按口诀“对号入座”完成填空;理解并掌握幻方中的两个公式:幻和=中心数×3;幻和=总数÷3,可以在已知幻和的情况下,先求出中心数,或在已知中心数的情况下,先求出幻和,以便继续求出其它的数;让孩子初步了解幻方的构造原理,这种推理方法在学习其它问题时可以迁移使用。
《奥赛天天练》第25讲,模仿训练,练习2
【题目】:
将下面左边方格中的9个数填入右边幻方中,使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和相等。
???? ?
【解析】:
解法一:把这九个数按从小到大的顺序依次编号,1、2、3号为“6”,4、5、6号为“8”,7、8、9号为“10”。按口诀:九宫者,二四为肩,六八为足,左七右三,戴九履一,五居中央。对号入座,如下图可以填好表格。
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解法二:这个三阶幻方的幻和为:10+8+6=24;中心数为:24÷3=8。如上图:首先可以填好中心数8。因为幻和为24,任意行列如果有2个6,3个数的和必定小于24,所以任意行列不可能有2个6,根据这点,第二步可以确定3个6的位置,保证任意2个6不同行不同列,不在同一条对角线上。第三步根据已填好的四个数,及幻和为24,可以完成余下的填空。
《奥赛天天练》第25讲,巩固训练,习题1
【题目】:
将9个连续自然数填入3×3的方格内,使每一横行、每一竖行及两条对角线的3个数之和都等于60。
【解析】:
由已知条件可知,这个幻方
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