大学数学(高数微积分)25Laplace变换的应用课件(课堂讲义).pptVIP

第*页 三、线性系统的传递函数 1.线性系统的激励和响应 这是一个一阶常系数线性微分方程. 一个线性系统可以用一个常系数线性微分方程来描述. 例如例6中的RC串联电路, 电容器两端的电压u C (t)所满足的关系式为 第*页 2.激励和响应的概念 三、线性系统的传递函数 在上述一阶常系数线性微分方程中,通常将外加电动势e (t)看成是这个系统的随时间t变化的输入函数, 称为激励, 而把电容两端的电压u C (t)看成是这个系统的随时间t变化的输出函数, 称为响应. 第*页 三、线性系统的传递函数 这样的 RC 串联的闭合回路就可以看成是一个有输入端和输出端的线性系统, 如下图所示. 而虚线框中的电路结构决定于系统内的元件参量和连接方式. 这样一个线性系统, 在电路理论中又称为线性网络(简称网络). 一个系统的响应是由激励函数与系统本身的特性所决定. 第*页 三、线性系统的传递函数 第*页 3.传递函数的概念的引入 三、线性系统的传递函数 对于不同的线性系统, 即使在同一激励下, 其响应也是不同的. 在分析线性系统时, 我们并不关心系统内部的各种不同的结构情况, 而是要研究激励和响应同系统本身特性之间的联系, 可绘出如下图所示的情况表明它们之间的联系, 为了描述这种联系需要引进传递函数的概念. 第*页 三、线性系统的传递函数 第*页 4.传递函数的概念 其中 均为常数,m ,n为正整数, n ? m. 假设有一个线性系统, 在一般情况下, 它的激励x (t)与响应y (t)可用下列微分方程表示: 三、线性系统的传递函数 第*页 L [a k y (k)]=akskY(s)-ak[sk-1y(0)+...+y(k-1)(0)] 设L [y (t)]=Y (s), L [x (t)]=X (s), 则 三、线性系统的传递函数 L [b k x (k)]=bkskX(s)-bk[sk-1x(0)+...+x(k-1)(0)] (k=0,1,...,n) (k=0,1,...,m) 第*页 两边取Laplace变换并通过整理,可得 D (s) Y (s) –Mh y (s)=M (s) X (s) –M h x (s) 三、线性系统的传递函数 其中 D (s)=ansn+an-1sn-1+...+a1s+a0 M (s)=bmsm+bm-1sm-1+...+b1s+b0 第*页 三、线性系统的传递函数 M h y (s)=any(0)sn-1+[any(0)+an-1y(0)]sn-2+...+ [any(n-1)(0)+...+a2y(0)+a1y(0)] M h x (s)=bmx(0)sm-1+[bmx(0)+bm-1x(0)]sm-2+ ...+[bmx(m-1)(0)+...+b2x(0)+b1x(0)]. 则 第*页 三、线性系统的传递函数 称G (s)为系统的传递函数. 如Gh (s)=0, 则 其中 第*页 在零初始条件下, 系统的传递函数等于其响应的Laplace变换与其激励的Laplace变换之比. 当我们知道了系统的传递函数以后, 就可以由系统的激励求出其响应的Laplace变换, 再求逆变换可得其响应y (t). 三、线性系统的传递函数 第*页 传递函数不表明系统的物理性质, 许多性质不同的物理系统, 可以有相同的传递函数. 三、线性系统的传递函数 第*页 假设某个线性系统的传递函数为 或 Y (s)=G (s) X (s) 5.脉冲响应函数 设g (t)= L -1[G(s)]，则由卷积定理可得 三、线性系统的传递函数 ? 第*页 即系统的响应等于其激励与 的卷积. 一个线性系统除用传递函数来表征外, 也可以用传递函数的逆变换 来表征.称 为系统的脉冲响应函数.即 三、线性系统的传递函数 时, 则在零初始条件下, 有 所以 即 第*页 在系统的传递函数中, 令 , 则得 6.频率响应 三、线性系统的传递函数 称它为系统的频率特性函数, 简称频率响应, 可以证明, 当激励是角频率为w的虚指数函数x (t)=ejw t时, 系统的稳态响应是y (t)= G ( j w )e j w t. 因此频率