大学数学(高数微积分)第七章线性变换第三节课件(课堂讲义).pptVIP

另一方面，由假设 由于?1 , ?2 , … , ?n 线性无关，所以 证毕 线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起 一般来说，随着基的改变，同一个线性变换就 有不同的矩阵. 为了利用矩阵来研究线性变换，我 们有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改 变而改变的. 的， 四、线性变换 定理 4 设线性空间 V 中线性变换 A 在两组 基 ?1 , ?2 , … , ?n ， (6) ?1 , ?2 , … , ?n (7) 下的矩阵分别为 A 和 B，从基 (6) 到 (7) 的过渡矩 阵是 X，于是 B = X-1AX . 在不同基下的矩阵的关系 证明 已知 (A ?1 , A ?2 , … , A ?n ) = (?1 , ?2 , … , ?n )A， (A ?1 , A ?2 , … , A ?n ) =(?1 , ?2 , … , ?n )B， (?1 , ?2 , … , ?n ) = (?1 , ?2 , … , ?n )X . 于是 (A ?1 , A ?2 , … , A ?n ) = A (?1 , ?2 , … , ?n ) = A [(?1 , ?2 , … , ?n )X ] = [A (?1 , ?2 , … , ?n )]X = (A ?1 , A ?2 , … , A ?n )X = (?1 , ?2 , … , ?n )AX = (?1 , ?2 , … , ?n )X-1AX . = (?1 , ?2 , … , ?n )X-1AX . 由此即得 B = X-1AX . 证毕 定理 4 告诉我们，同一个线性变换 A 在不同 基下的矩阵之间的关系. 这个基本关系在以后的讨 论中是重要的. 现在，我们对于矩阵引进相应的定 义. 五、相似矩阵 1. 定义 定义 8 设 A，B 为数域 P 上两个 n 级矩阵， 如果可以找到数域 P 上的 n 级可逆矩阵 X，使得 B = X-1AX , 就说 A 相似于 B，记作 A ~ B . 2. 性质 相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下 面三个性质： 1) 反身性：A ~ A . 这是因为 A = E-1AE . 2) 对称性：如果 A ~ B，那么 B ~ A . 如果 A ~ B，那么有 X 使 B = X-1AX . 令 Y=X-1 就有 A = XBX-1 = Y-1BY，所以 B ~ A . 3) 传递性：如果 A ~ B，B ~ C，那么 A ~ C . 已知有 X，Y 使 B = X-1AX ， C = Y-1BY . 令 Z = XY，就有 C = Y-1X-1AXY = Z-1AZ， 因此 A ~ C . 矩阵的相似对于运算有下面的性质. 4) 若 B1 = X-1A1X， B2 = X-1A2X，则 B1 + B2 = X-1( A1 + A2)X ； B1B2 = X-1( A1 A2)X . 5) 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 且矩阵 A 可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似. g(A) 与 g(B) 相似. 6) 若矩阵 A 与 B 相似, k 是常数, m 是正整 数, g(x) = a0xm + a1xm-1 + … + am , 则 kA 与 kB 相似, Am 与 Bm 相似, 有了矩阵相似的概念之后， 可以补充 成： 定理 5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是 相似的； 反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可 以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵. 例 2 设 V 是数域 P 上一个二维线性空间，线 性变换 A 在基 ? 1 = (1 , 0) , ? 2 = (0 , 1) 下的矩阵是 1) 求线性变换 A 在基 ?1 , ?2 下的矩阵 B, 其中 ?1 = ? 1 - ? 2 , ?2 = 3? 1 + 4? 2 ; 2) 求 An ( n 为正整数) . 解 1) 由已知条件 及 2) 由 B = X-1AX，得 所以 An = A ? A ??? A = (XBX-1) (XBX-1) … (XBX-1) n 个 n 个 = X B n X -1 A = XBX-1 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若