大学数学(高数微积分)第七章线性变换第四节课件(课堂讲义).pptVIP

解之得基础解系为 单击这里开始求解 所以属于 的一个线性无关的特征 向量就是 全部特征向量就是 例 3 在空间 P[x]n 中，线性变换 D f (x) = f ?(x) 在基 下的矩阵是 D 的特征多项式是 因此，D 的特征值只有 0 . 通过解相应的齐次线性 方程组知道，属于特征值 0 的线性无关的特征向量 组只能是任一非零常数. 这表明微商为零的多项式 只能是零或非零的常数. 例 4 平面上全体向量构成实数域上一个二维 线性空间，第一节 中旋转 S? 在直角坐标系 下的矩阵为 它的特征多项式为 当 ? ? k? 时，这个多项式没有实根，因而，当? ? k? 时， S? 没有特征值. 五、特征子空间 容易看出，对于线性变换 A 的任一个特征值 ?0 ，全部适合条件 A ? = ?0? 的向量 ? 所成的集合， 部特征向量再添上零向量所成的集合，是 V 的一 个子空间， 显然， 的维数就是属于 ?0 的线性无关的特征向 的最大个数. 也就是 A 的属于 ?0 的全 称为 A 的一个特征子空间， 记为 (2) ?1?2 …?n = |A|. 证 由行列式的定义可知, 矩阵 A 的特征多 六、性质 定理 6 设 ?1 , ?2 , … ?n 是 n 阶矩阵 A = (aij) 的 n 个特征值( k 重特征值算作 k 个特征值) , 则 (1) ?1 + ?2 + … + ?n = a11 + a22 + … + ann ; 项式 性质 1 因而, A 的特征多项式中, ?n 与 ?n-1 的系数由该项 中, 有一项是主对角线上 n 个元素的乘积 (? - a11) (? - a22)? (? - ann) 而其他各项至多含有主对角线上的 n - 2 个元素. | ?E - A | = ?n - (a11 + a22 + … + ann)?n-1 + … + (-1)n |A| . 确定. 不难看出, ?n 的系数为 1 , ?n-1 的系数为 -(a11 + a22 + … + ann). 另外, 在特征多项式中 令 ? = 0 可得其常数项为 |A| . 故 ?1?2 …?n = |A|. 证毕 称 为矩阵 A 的迹, 记作 trA. 由于 ?1 , ?2 , … , ?n 是 A 的 n 个特征值, 所以 | ?E - A | = (? - ?1)(? - ?2) … (? - ?n) . 比较上述两式可得 ?1 + ?2 + … + ?n = a11 + a22 + … + ann ; 性质 2 特征值自然是被线性变换所决定的. 但是在有 限维空间中，任取一组基之后，特征值就是线性变 换在这组基下矩阵的特征多项式的根. 随着基的不 同，线性变换的矩阵一般是不同的. 但是这些矩阵 是相似的，因此，对于相似矩阵我们有以下定理 定理 7 相似的矩阵有相同的特征多项式. 证明 设 A ~ B，即有可逆矩阵 X，使 B = X-1AX . 于是 | ?E - B | = | ?E - X-1AX | = | X-1(?E - A)X | = | X-1 | | ?E - A | | X | = | ?E - A | . 证毕 定理 7 正好说明，线性变换的矩阵的特征多项 式与基的选择无关，它是直接被线性变换决定的. 因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了. 既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征 多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同的. 譬如说，考虑特征多项式的常数项，得到相似矩阵 有相同的行列式. 因此，以后就可以说线性变换的 行列式了. 应该指出，定理 7 的逆是不对的，特征多项式 相同的矩阵不一定是相似的. 例如 它们的特征多项式都是 (? - 1)2 ，但 A 和 B不相似, 因为和 A 相似的矩阵只能是 A 本身. 性质 3 哈密顿 - 凯莱(Hanmilton-Caylay) 定理 设 A 是数域 P 上一个 n ? n 矩阵， f (?) = | ?E - A | 是 A 的特征多项式，则 f (A) = An-(a11+a22+…+ann)An-1+…+ (-1)n |A|E = O. 证明 设 B( ? ) 是 ?E - A 的伴随矩阵，由行列 式的性质，有 B( ? ) (?E - A) = | ?E - A |E = f ( ? ) E . 因为矩阵 B( ? ) 的元素是 | ?E - A | 的各个代数 余子式，都是 ? 的多项式，其次数不超过