大学数学(高数微积分)第五章二次型第四节课件(课堂讲义).pptVIP

例 3 利用下列模型判别矩阵的正定性 例 4 判别二次型 的正定性. 解 二次型的矩阵为 它的顺序主子式分别为 单击求值 单击求值 由此可知二次型是正定的. 三、实二次型的其他类型及其判别法 1. 定义 定义 10 设 f ( x1 , x2 , … , xn ) 是一实二次型, 对于任意一组不全为零的实数 c1 , c2 , …, cn , 如果 都有 f ( c1 , c2 , … , cn ) 0，那么 f ( x1 , x2 , … , xn ) 称为负定的； 如果都有 f ( c1 , c2 , … , cn ) ? 0，那 么 f ( x1 , x2 , … , xn ) 称为半正定的； 如果都有 f ( c1 , c2 , … , cn ) ? 0，那么 f ( x1 , x2 , … , xn ) 称为 半负定的； 否则就称之为不定的. 2. 判别法 定理 8 对于实二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) =XTAX ， 其中 A 是实对称的，下列条件等价： (1) f ( x1 , x2 , … , xn ) 是半正定的， (2) 它的正惯性指数与秩相等， (3) 有可逆实矩阵 C，使 CTAC = diag ( d1 , d2 , … , dn ) , 其中 di ? 0，i =1, 2, … , n , (4) 有实矩阵 C 使 A = CTC ， (5) A 的所有主子式皆大于或等于零. (所谓主子式是指行指标与列指标相同的子式) 注意，在 (5) 中，仅有顺序主子式大于或等于 零是不能保证半正定性的. 比如 就是一个反例. 对于负定和半负定二次型的判别有以下定理： 定理 9 对于实二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) =XTAX ， 其中 A 是实对称的，则 (1) f ( x1 , x2 , … , xn ) 是负定的充要条件是它 的负惯性指数等于 n； (2) f ( x1 , x2 , … , xn ) 是半负定的充要条件是它 的负惯性指数等于秩. A 负定与 ( - A )正定是等价的. 所以实对称矩 阵 A 负定的充要条件是 A 的奇数阶顺序主子式都 小于零，A 的偶数阶顺序主子式都大于零. 例 5 判别二次型 的正定性. 四、正定矩阵的应用举例 在本节的最后，我们来看一个正定矩阵的简单 应用. 例 6 设 A 为 n 阶正定矩阵，X=(x1, …, xn)T , X ? Rn , b 是一固定的实 n 维列向量. 证明： 在 X0 = A-1b 处取得最小值，且 证明 当 A 为一阶正定矩阵时, A = ( a ), a0 , X = ( x )T = x ? R1 , 是一条抛 物线，它在 处，取得最小值 本例是把一元二次函数的最小值问题推广到 n 元二 次函数(其二次项部分是正定二次型). 这里欲证 p( X0 ) 是 p( X ) 的最小值，只要证恒 有 p( X ) - p( X0 ) ? 0 . 由于 b = AX0 ( X0 = A-1b ) , 所以 又因为 XTAX0 是一阶矩阵，所以 因此，由 A 的正定性，即得 ? ( X - X0 ) ? 0，即 ? X ? X0 ，恒有 p( X ) - p( X0 ) 0，故 p( X0 ) 是 p( X ) 的最小值，且 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本