初等数论试卷和案.docVIP

初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果，，则( ). A B C D 2、如果，，则15（ ）. A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果,是任意整数,则 A B C T D 5、如果( ),则不定方程有解. A B C D 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式有解的充分必要条件是( ). 3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( ). 5、的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果是两个正整数,则存在( )整数,使,. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程. 3、解同余式. 4、求,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分) 1、证明对于任意整数,数是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和. 试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式有解的充分必要条件是(). 3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( 与互素 ). 5、的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果是两个正整数,则存在( 唯一 )整数,使,. 三、计算题(每题8分，共32分) 求[136,221,391]=?（8分） 解 [136,221,391] =[[136,221],391] =[] =[1768,391] ------------(4分) = =104391 =40664. ------------（4分） 2、求解不定方程.（8分） 解：因为（9，21）=3，，所以有解； ----------------------------（2分） 化简得； -------------------（1分） 考虑，有， -------------------（2分） 所以原方程的特解为， -------------------（1分） 因此，所求的解是。 -------------------（2分） 3、解同余式. （8分） 解 因为(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的个数为3. ----------（1分） 又同余式等价于,即. ------------（1分） 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),----------（2分） 即定理4.1中的. ------（1分） 因此同余式的3个解为 , ---------（1分） , -----------------（1分） .---------（1分） 4、求,其中563是素数. （8分） 解 把看成Jacobi符号,我们有 ---------------（3分）----------------------（2分） ,-----------------（2分） 即429是563的平方剩余. ---------------（1分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分) 1、证明对于任意整数,数是整数. (10分) 证明 因为==, ------（3分） 而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -----（2分） 并且(2,3)=1, -----（1分） 所以从和有,-----（3分） 即是整数.