矩阵乘法AB=BA成立两个充要条件与一个充分条件.ppt

矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件与一个充分条件 主讲：刘媛媛 我们知道，矩阵的乘法不满足交换律， 即在一般的情况下，AB≠BA,这就是说矩阵 乘法AB=BA成立是有条件的。比如，对于n 阶矩阵A,B中任意一个为n阶单位矩E时，矩 阵乘法AＩ=ＩA总是成立的。当A,B为一般 的n阶矩阵时，矩阵乘法AB=BA成立的条件 时什么呢？为此，我做了一些探讨，得到矩 阵乘法AB=BA成立的两个充要条件和一个充 分条件。 一 两个充要条件 定理1 若A,B都是n阶可逆矩阵，则矩阵乘法AB=BA成立的充要条件是 证 必要性 由已知条件AB=BA，两端分别取逆矩阵，得  充分性 由已知条件，得 定理2 设A,B都是n阶矩阵，则矩阵乘法AB=BA成立的充要条件是 证 当 =0时，（3）式变为A=AB，从而有 结论显然成立。 当 为任意非零实数时，因为已知A,B可逆，所以A- I也是可逆的，由（3）式，得. (4) 根据矩阵运算性质,由（3),（4）两式.可得 * * 存在且唯一。 由矩阵运算性质，有 于是 又 两端取逆矩阵，即得AB=BA. 证 必要性 由已知条件AB=BA，两端分别取它们的转置，得 (2) 又 故 充分性 又矩阵运算性质 及已知条件 即得 两端分别取它们的转置， 得AB=BA 二 一个充分条件 定理3 若A,B都是n阶可逆矩阵，并且满足关系式 （3） 其中I为n阶单位矩阵， 为任意实数，则AB=BA. 又 故 根据上述定理2，知AB=BA. 综上所述，对于任意的实数 ,定理3的结论总是 成立的。