第三章 傅立叶变换法-4.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 深圳大学电子科学与技术学院 第三章：积分变换法 深圳大学电子科学与技术学院 §3.4 傅立叶变换法 第三章：行波法与积分变换法 一维波动方程的达朗贝尔公式 三维波动方程的定解问题 拉普拉斯变换法 傅立叶变换法 积分变换法举例 本章内容提要: 参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件 把函数 经过积分的手段变为另一 类函数: 称为象函数， 称为原函数， 称为积分变换的核。 什么是积分变换？ (求解微分方程) 原空间：常微分方程 偏微分方程 象空间： 代数方程 常微分方程 求解象空间的代数方程或常微分方程，得到象函 数，再将它 “反演” 成原函数(即为所求的解）。 积分变换法在求解常微分方程和偏微分方程的定 解问题中有非常广泛的应用。 什么是积分变换法？ Fourier 积分变换法 Laplace 积分变换法 混合变换法 用来解常微分方程 将未知函数的常微分方程，化成 象函数的代数方程，达到消去对自变量求导运算的目的。 用来解偏微分方程 通过选取积分变换 在工程力学、电磁场理论、光学、热学、无线电学、通讯理论、微电子学、核科学与技术、地震资料数据处理…等方面，均有广泛的应用。 在偏微分方程的两端，对某个变量取变换，消去未知函数对该自变量求偏导的运算，得到象函数的较为简单的微分方程。如果原来的偏微分方程只包含两个自变量，通过一次变换就能得到象函数的常微分方程。 Fourier 积分变换 Laplace 积分变换 数学中的变换手段，旨在化繁为简. （原函数小写） （象函数大写） 定义： 反变换存在的条件： §3.4 傅立叶变换法 线性性质： 如果 则有 证明： 微分性质：原函数导数的象函数 或 同样可以证明： 如果 则有 证明：令 其中x0为任意点 积分性质：原函数积分的象函数 注：常取下列形式 如果 则有 证明： 常数 位移性质: 卷积定理：如果象函数 可以写成乘积形式： 而 的原函数分别为 则 的原函数是 的卷积： 卷积定理：由象函数求原函数 证明：函数 的傅里叶变换为 原函数 象函数 常用的傅立叶变换 傅立叶变换性质小结： 线性性质 微分性质 积分性质 位移性质 卷积定理 定义： 在一些情况下，在通常意义下的函数类中，找不到一个函数来描述诸如点电荷、点热源以及非常窄的脉冲等。于是必须引进一个新的函数，被称为狄拉克（Dirac）函数，简称?函数。 满足下列两个条件的函数，被定义为?函数。 单位脉冲函数（?函数） 定义 积分 x x 函数 筛选性质： ?函数是不符合古典的“一点对应一点”的函数定义的。过去，曾经在相当一段时期内，不为数学家所承认，被拒之于数学的门外，直到上个世纪四十年代，引进了广义函数的概念之后，方才对?函数作出了解释。 在物理学和工程技术中，除了用到指数衰减函数外，还常常会碰到单位脉冲函数。因为在许多物理现象中，除了有连续分布的物理量外，还会有集中在一点的量（点源），或者具有脉冲性质的量，例如瞬间作用的冲击力、电脉冲等。研究这类问题就会产生我们要介绍的?函数，有了这种函数，对于许多集中在一点或一瞬间的量，例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等，就能够像处理连续分布的量那样，用统一的方式来加以解决。 结论： 例1：?函数的傅里叶变换 1 解1： 例2：函数 的傅里叶变换 t 1 解2： 例2：函数 的傅里叶变换 t 1 单位函数 t 1 t 单位函数 (Unit step function) 1 解： 例3：计算 的傅里叶变换 t ？ “复变函数求极限要十分小心！” “复变函数求极限最好化成实、虚部来求” 1 解： 例3：计算 的傅里叶变换 t 1 解： 例3：计算 的傅里叶变换 归一化常数 归一化条件： 故 t 解： 例3：计算 的傅里叶变换 结论： 1 t 一个“简单”的问题： 1的傅里叶变换是什么？ 1 解： 例4：函数 的傅里叶变换 t 1 t 1 解1：