浙江大学-概率与统计第四章课件.pptVIP

* * 课件待续! * * * 定义：设随机变量X具有数学期望 * 4.3 协方差与相关系数 协方差的计算公式： 方差性质的补充： * 协方差的性质： * 思考题： * 定义 称为X与Y的相关系数. 它无量纲的量. 相关系数的性质: * 续 * 续 * * * * * 例3.1 设X,Y服从同一分布，其分布律为： X -1 0 1 p 1/4 1/2 1/4 已知 , 判断X和Y是否不相关？是否独立？ * * * 续 * * * * 4.4 其它数字特征 * * * 4.5 多元随机变量的数字特征 * 利用协方差矩阵，可由二元正态变量的概率密度推广，得到n元正态变量的概率密度。 * * * n元正态变量具有以下四条重要性质： * * * 例1.11 设按季节出售的某种应时产品的销售量X(单位:吨) 服从[5,10]上的均匀分布. 若销售出一吨产品可盈利C1 = 2万元; 但若在销售季节未能售完,造成积压,则每吨产品将会净亏损C2=0.5万元. 若该厂家需要提前生产该种商品,为使厂家能获得最大的期望利润,问:应在该季生产多少吨产品最为合适? * 解：设应在该季生产a吨产品 ，所获利润为Y万元，则Y依赖于销售量X及产量a， * * (三) 数学期望的性质 1.设C是常数，则有E(C)=C, 2.设X是随机变量, C是常数,则有E(C X)=CE(X), 3.设X,Y是随机变量, 则有E(X+Y)=E(X)+E(Y), 合起来为E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y) +c. 推广到任意有限个随机变量线性组合： * 4.设X,Y是相互独立随机变量, 则有 E(XY)=E(X) E(Y), 推广到任意有限个相互独立随机变量之积： * 下面仅对连续型随机变量给予证明 证明： * * * * 例1.13 一专用电梯载着12位乘客从一层上升，最高11层.假设中途没有乘客进入，每位乘客独立等概率地到达各层.如果没有乘客到达某层楼，电梯在该层就不停.记电梯停留次数为X，求E(X). (设电梯到达11层后乘客全部下完) * 解：引入随机变量： * 本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。 * * 4.2 方差 设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时→平均寿命为1000小时； 另一批灯泡寿命为：一半约1300小时，另一半约700小时→平均寿命为1000小时； 问题：哪批灯泡的质量更好？ 单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。 方差─正是体现这种意义的数学特征。 * (一) 方差的定义 定义 设X是随机变量，若 存在， 则称其为X的方差，记为Var(X)或D(X),即 将 记为 称为X的标准差或均方差，它与X有相同的量纲. 方差Var(X)刻画了X取值的分散程度，若 X取值比较集中，则Var(X)较小，反之，若X取值比较分散，则Var(X)较大.因此Var(X)是衡量X取值分散程度的一个指标. * 对于离散型随机变量X， 对于连续型随机变量X， * 此外，利用数学期望的性质，可得方差的计算公式： * 例2.1设随机变量X具有0-1分布，其分布律为： 解： * * 解：X的密度函数为： * 例2.4 设随机变量X服从指数分布，其密度函数为： * (二)方差的性质： * 推广到任意有限个独立随机变量线性组合的情况 * 证明： * * Xk p 0 1 1-p p * * * 表1 几种常见分布的均值与方差 数学期望 方差 分布率或 密度函数 分布 0－1分布 p p(1-p) 二项分布B(n,p) np np(1-p) 泊松分布 均匀分布U(a,b) 指数分布 正态分布 * 数学期望 方差 协方差、相关系数 其它数字特征 第四章 随机变量的数字特征 * 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。 问题的提出： * 例： 在评定某地区粮食产量的水