上海交通大学计算方法课件(宋宝瑞)CH.4.docVIP

PAGE PAGE 29 第五章 函数的插值及其数值计算 §1 插值的基本概念 插值方法是数值分析中一个很古老的分支，它有着悠久的历史。插值理论和方法也是现代数值分析中最基本的内容之一，它在数值积分，曲线曲面拟合，求微分方程数值解等方面有着广泛的应用。 在工程技术与科学研究中，有时对一个函数只知道它在某些点上的数值，为了进一步研究其性质，需要用其他函数去近似代替它，这时就可以用插值方法。有时候，虽然函数有解析表达式，但形式过于复杂，为了便于处理，先在某些点上取值作表格函数，再通过插值建立易于处理的新函数，这也是插值理论的一个应用。 先介绍一般的插值概念。 设，。已知它在个互异的点，…，处的函数值，，…，，即： ， ，1，…，n 求解插值问题就是从函数类中求使 ， ，1，…，n （1.1） 这里的称为被插函数，称为插值区间，，，1，…，n，称为插值节点，（1.1）式称为插值条件，而和分别为插值函数和插值函数类。 通常选定的插值函数类是有限维线性空间，它可看成是某一组基张成的线性空间： 对，有使得 于是确定函数归结为确定数列。 从理论上看，插值问题包含以下内容： （1）确定的基，一般地说基不唯一，选择合适的基可以简化问题的解法； （2）讨论满足（1.1）的的存在性，求法及唯一性； （3）寻找插值问题的截断误差，即余项： 的表达式与估计。 §2 多项式插值 本节选取常用的多项式函数类作插值函数类。多项式函数属于解析函数类，形式简单，计算方便，其导数与不定积分易于求出。 下面把不超过n次的多项式函数类记为 2.1 Lagrange插值 设已知，在相异节点，，…，上的函数值，，1，…，n，取=，下面求的插值函数。 设 ， 插值的基本问题是，寻求如上的，使得，，1，…，n. 该问题等价于求解下列线性方程组： 上述线性方程组的系数矩阵为： A的行列式为（称为Vandermonde 行列式） 根据线性代数的知识知道 注意到诸互不相同，从而，上述线性方程组存在唯一解。 这说明满足条件（1.1）的插值多项式是存在的，而且还是唯一的。 定理2.1 设， 为上的n+1个相异的节点，，i=0，1，…，n，则满足 ，i=0，1，…，n 的是存在并且唯一的。 从定理2.1的证明可看到，要求插值多项式p(x),可以通过求解一个线性方程组得到。但这样做不但计算复杂，且难于得到p(x)的简单表达式。为了求得便于使用的简单的插值多项式p(x)，可以如§1所述，选择的适当的基。 先构造n次插值基函数 ，i=0，1，…，n使 ， ，1，…，n， （2.1） 由当时，可知： ，1，…，n （2.2） 其中是待定常数，它可由定出： ；，1，…，n。 代入（2.2）得： i=0，1，…，n 再作 易知，即为所求的插值函数。 这种具有性质的基称为对偶基，以后我们还会多次构造针对不同问题的对偶基。 记 ，则，， ， i=0，1，…，n， 例2.1 已知，节点为，，，求 解 ，，。 2.2 插值多项式的插值余项 现在考虑用近似所产生的误差，即插值余项 当在上n+1阶可导时，可以把化为便于估计的形式， 先设，i=0，1，…，n，作辅助函数 ， 其中满足： （2.3） 当x不为插值节点时，这样的是存在的。 于是，，…，，是的n+2个相异的零点，依次对，，…，应用Rolle定理可知存在使 0= 从而 代入（2.3）式得： ， 若x等于某一，则，故任取上式也成立。 于是得出： 定理2.2（多项式插值的余项） 设在上n+1阶可导，则存在使 注：由上式可知，当时，，特别当时，可得： （2.4） 例2.2 考察四位常用对数表作线性插值的误差。 解 设，，＜0.4343。 设x位于和之间：1≤＜＜，则 ，≤≤ 记表距，得 = 当h=0.01时， （2.5） 再考虑舍入误差，设 ， i=0，1 其中是表值，是舍入误差，则： ，i=0，1 （2.6） 把以，，i=0，1构造的线性插值分别记为，，注意到，i=0，1在上非负及（2.5），（2.6）式，则线性插值的舍入误差 = = 可见舍入误差比截断误差大一个量级。此时整个误差不超过 2.3 Newton插值 Lagrange插值公式的缺点是，当插值节点的个数有所变动时（例如为了提高精度，有时需要增加节点个数），Lagrange插值基函数，i=0，1，…，n就要随之发生变化，从而整个公式的结构也要发生变化，这在计算实践中是不方便的。为了克服上