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函数凹凸性判别法与应用-安庆师范学院数学与计算科学学院优秀毕设 祝红丽.docVIP

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函数凹凸性判别法与应用-安庆师范学院数学与计算科学学院优秀毕设 祝红丽

安庆师范学院数学与计算科学学院2011届毕业论文 PAGE 第 PAGE 14 页 共 NUMPAGES 14 页 函数凹凸性判别法与应用 作者:祝红丽 指导老师:邢抱花 摘要 函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向,通过它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析,着重探讨了函数凹凸性的判别方法以及在解题中的应用,如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并结合相关例题做了较详细的论述. 关键词 凹凸性 导数 不等式 应用 1 引言 函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变量变化而变化的快慢程度,如果结合函数的其它性质,可以使我们对函数的认识更加精确.以函数在某区间上单调增加为例说明.我们不难理解,随着自变量的稳定增加,当函数的增量越来越大时,函数图形是凹的,当函数的增量越来越小时,函数图形是凸的,当函数的增量保持不变时,函数图象是直线,对于减函数我们可以作类似的分析. 作为研究分析函数的工具和方法,它在许多学科里有着重要的应用.长期以来,很多学者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来,关于函数凹凸性的判定与应用的研究取得了一些成果,使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛. 本文先从两个具体的函数图象为出发点,直观上观察函数图象的弯曲方向,从而引出函数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征,接着介绍函数凹凸性的几种判别方法,如:用定义去判别函数的凹凸性,利用二阶导函数判别函数的凹凸性,及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判别方法,利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都能利用函数的凹凸性证明,但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式,是其它方法不可替代的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法,开阔了解题思路.利用导数分析函数的上升、下降,图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化. 2 凹凸函数及拐点的定义 0YXY0我们已经熟悉函数和的图象. 0 Y X Y 0 x x 它们的不同之处是:曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的上方.我们把具有前一种特性的曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数;后一种曲线称为凸的,相应的函数成为凸函数.函数凹凸性的分析定义形式较多,下面给出函数凹凸性定义的更一般的形式. 2.1函数凹凸性的定义 定义 设函数在区间上连续,若对上的任意两点,和任意实数,总有: , 则称为上的凹函数. 反之,如果总有:,则称为上的凸函数. 特别地,当=时,满足的函数为凹函数,满足的函数为凸函数. 如果定义中的不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凹函数和严格凸函数. 2.2 凹函数与凸函数的几何意义 定义中凹函数与凸函数的图象如图、图. Y0x Y 0 x 0 Y x 图1 图2 凹函数(凸函数)的几何意义:连接曲线上任意两点的弦总位于对应曲线的上方(下方). 2.3 拐点的定义 设曲线在点处有穿过曲线的切线.且在切点近旁,曲线的切线的两侧分别是严格凹和严格凸的,这时称点为曲线的拐点. 由定义可见,对于具有凹凸性的函数而言,拐点正是函数的凹凸性发生改变的那一点,即拐点的两侧邻域有着互异的严格凹凸性.如下图中的点. x x Y M . · · .· 0 严格地说,拐点都是平面光滑曲线(即切线连续变动的曲线)弯曲方向发生改变的转折点,拐点的几何特征是该点的切线不是在曲线的一侧“托着曲线”而是切线在切点处把曲线一分为二,分别在切线的两侧. 易知,有正弦曲线的图象可知有拐点 ,为整数. 2.4 拐点的判别法 若在处连续,在两侧反号,则是

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