大学数学(高数微积分)22Laplace变换的性质课件(课堂讲义).pptVIP

其中F (s)=L [f (t)].此公式常用来计算某些积分. 例如, 因为 所以 四、位移性质 证明: 根据Laplace变换式, 有 L [eat f (t)]=F (s-a) (Re (s-a)c) 若L [f (t)]=F (s), 则有 上式右边只是在F ( s)中将s换为s-a, 得 L [e at f (t)]=F (s-a) (Re (s-a)c) 性质表明了一个象原函数乘以指数函数eat的Laplace变换等于其象函数做位移a. 四、位移性质 求L [ea t t m]. 利用位移性质， 求L [e –at sin k t]. 利用位移性质， 证明: 五、延迟性质 若L [f (t)]= F( s), 又t0时f (t)=0, 则对于任一非负数t?0, 有 函数 与f (t)相比, f (t)从t=0开始有非零数值. 而 是从 开始才有非零数值. 即延迟了一个时间t. 从它的图像讲, 是由 沿t轴向右平移 而得, 其Laplace变换也多一个因子 . 五、延迟性质 O t t f (t) f (t -t) 五、延迟性质 求函数 的Laplace变换. t O 则 求如图所示的阶梯函数 f (t) 的Laplace变换. 利用单位阶跃函数u (t)可将f (t)表示为 3A 2A A O t t 2t 3t 4A f (t) 利用Laplace变换的线性性质及延迟性质, 可得 当 时, 有 ,所以, 上式右端括号中为一公比的模小于1的等比级数, 从而 一般地, 若L [f (t)]=F (s), 则对于任何 , 有 求如图所示的单个半正弦波 的Laplace变换. 由前图可知, 所以 求如下图所示的半正弦波 的Laplace变换. 由例9可得从t=0开始的单个半正弦波的Laplace变换为 从而 这是一个求周期函数Laplace变换的简单方法, 即设 是周期为 的周期函数, 如果 且 则 六、初值定理与终值定理 1.初值定理 证明: 根据Laplace变换的微分性质, 存在, 也存在. 六、初值定理与终值定理 若 且 的奇点全在s平面的左半部, 则 2. 终值定理 证明: 根据定理给出的条件和微分性质 两边取s?0的极限, 得 六、初值定理与终值定理 六、初值定理与终值定理 这个性质表明 在t?＋?时的数值(稳定值), 可以通过 的Laplace变换乘以s取s?0时的极限值而得到, 它建立了函数 在无限远的值与函数 在原点的值之间的关系. 在Laplace变换的应用中, 往往先得到 再去求出 但经常并不关心函数 的表达式, 而是需要知道 在t?＋?和t?0时的性态, 这两个性质给了我们方便, 能使我们直接由 来求出 的两个特殊值 六、初值定理与终值定理 若 根据初值定理和终值定理,得 七、小结 线性性质： 微分性质： 积分性质： 若L [f (t)]=F (s), 则有 L [eat f (t)]=F (s-a) (Re (s-a)c) 位移性质： 延迟性质： 七、小结 初值定理： 七、小结 若 且 的奇点全在s平面的左半部, 则 终值定理： 七、小结 这一节将介绍Laplace变换的几个重要性质. 为了叙述方便, 假定在这些性质中, 凡是需要求Laplace变换的函数都满足Laplace积分定理中的条件. 在证明这些性质时, 不再重述这些条件. 说明 注意和Fourier变换比较区分. 七、小结 一、线性性质 二、微分性质 六、 初值定理与终值定理 三、积分性质 四、位移性质 五、 延迟定理 这个性质表明了函数线性组合的Laplace变换等于各个函数Laplace变换的线性组合. 它的证明只需根据定义就可推出. 一、线性性质 设 a , b 是常数,则 二、微分性质 证明: 由Laplace变换的定义,并利用分部积分可得 二、微分性质 此性质可以使我们有可能将 的微分方程 转化为 的代数方程。 二、微分性质 利用微分性质求函数 f(t)=cos kt 的Laplace变换. 移项化简得 由于 则