大学数学(高数微积分)第九章欧几里得空间第七节课件(课堂讲义).pptVIP

主要内容 第七节 向量到子空间的距离 定义 向量到子空间各向量间的最短距离 最小二乘法 最小二乘法 一、定义 在解析几何中，两个点 ? 和 ? 间的距离等于向 量 ? - ? 的长度. 在欧氏空间中我们同样可引入 定义 13 长度 | ? - ? | 称为向量 ? 和 ? 的距离 记为 d(? , ? ) . 不难证明距离的三条基本性质： 1) d(? , ? ) = d(? , ?) ； 2) d(? , ? ) ? 0，并且仅当? = ? 时等号才成立; 3) d(? , ? ) ? d(? , ? ) + d(? , ? ) (三角不等式) . 二、向量到子空间各向量间的最短距离 在中学所学几何中知道一个点到一个平面(或 一条直线)上所有点的距离以垂线最短. 下面可以证 明一个固定向量和一个子空间中各向量的距离也是 以“垂线最短” . 先设一个子空间 W，它是由向量 ?1, ?2, …, ?k 所生成，即 W = L(?1, ?2, …, ?k) . 说一个向量 ? 垂 直于子空间 W，就是指向量 ? 垂直于 W 中任何一 个向量. 容易验证 ? 垂直于 W 的充分必要条件是 ? 垂直于每个?i ( i = 1, 2, … , k) . 现在来证明向量到子空间各向量间的距离以垂 线最短. 设 ? 是给定的一向量，? 是 W 中的向量，且满 足 ? - ? 垂直于 W. 要证明 ? 到 W 中各向量的距离 以垂线最短，就是要证明，对 W 中任一向量 ?， 有 | ? - ? | ? | ? - ? | . 我们可以画出下面的示意图： ? - ? ? - ? ? - ? W 图 9-2 证明 ? - ? = ( ? - ? ) + ( ? - ? ) . 因 W 是子空 间， ? ? W， ? ? W，则 ? - ? ? W. 故 ? - ? 垂直于 ? - ? . 由勾股定理，有 | ? - ? |2 + | ? - ? |2 = | ? - ? |2 ， 故 | ? - ? | ? | ? - ? | . 证毕 三、最小二乘法 1. 引例 上述几何事实可以用来解决一些实际问题. 其 中的一个应用就是解决最小二乘法问题. 先看下面 的例子. 引例 已知某种材料在生产过程中的废品率 y 与某种化学成分 x 有关. 下列表中记载了某工厂生 产中 y 与相应的 x 的几次数值： y (?) 1.00 0.9 0.9 0.81 0.60 0.56 0.35 x (?) 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 我们想找出 y 对 x 的一个近似公式. 解 把表中数值画出图来看，发现它的变化 趋势近于一条直线. 因此我们决定选取 x 的一次式 ax + b 来表达 . 当然最好能选到适当的 a , b 使得 下面的等式 3.6a + b - 1.00 = 0 , 3.7a + b - 0.9 = 0 , 3.8a + b - 0.9 = 0 , 3.9a + b - 0.81 = 0 , 4.0a + b - 0.60 = 0 , 4.1a + b - 0.56 = 0 , 4.2a + b - 0.35 = 0 都成立. 实际上是不可能的. 任何 a , b 代入上面 各式都会发生些误差. 于是想找 a , b 使得上面各 式的误差的平方和最小，即找 a , b 使 (3.6a + b - 1.00 )2 + (3.7a + b - 0.9 )2 + (3.8a + b - 0.9 )2 + (3.9a + b - 0.81 )2 + (4.0a + b - 0.60 )2 + (4.1a + b - 0.56 )2 + (4.2a + b - 0.35 )2 最小. 这里讨论的是误差的平方即二乘方，故称为 最小二乘法. 现在转向一般的最小二乘法问题. 2. 定义 定义14 线性方程组 可能无解. 即任何一组数 x1 , x2 , … , xs 都可能使 不等于零. 我们设法找 x10 , x20 , … , xs0 使(1)最小, 这样的 x10 , x20 , … , xs0 称为方程组的最小二乘解. 这种问题就叫做最小二乘法问题. 3. 最小二乘法的代数表示 下面我们利用欧氏空间的概念来表达最小二乘 法，并给出最小二乘解所满足的条件. 令 (2) 用距离的概念， 就是 | Y - B |2 . 最小二乘法就是找x10 , x20 , … , xs0 使 Y 与 B 的距 离最短. 但从 知道向量 Y 就是 把 A 的各列向量分别记成 ?1 , ?2 ,