大学数学(高数微积分)第三章线性方程组第一节(课堂讲义).pptVIP

例 2 用消元法把线性方程组化成阶梯形方 程，并由此判断方程组是否有解，若有解，求出其 解. 解 经过一系列初等变换后，它变成了如下 x3 = -6 代入第二个方程解得 x2 = - 1; x2 = -1 代入第一个方程解得 x1 = 9 . 由于在阶梯形方程组中 , 有效方程的个数 r 与 方程的未知量的个数 n 相等，所以有唯一解. 一解为 (9, -1, -6) . 把 再把 x3 = -6， 故方程组的唯 情形二 r n 这时阶梯形方程组为 其中 cii ? 0 , i = 1, 2, … , r . 把它变形，得 由此可见，任给 xr+1, … , xn 一组值，就唯一 地确定 x1, x2, … , xr 的值，也就是得到方程组的一 个解. 一般地，由上式我们可以把 x1, x2, … , xr 通 过 xr+1, … , xn 表示出来，这样一组表达式称为方 程 (1) 的一般解，而 xr+1, … , xn 称为一组自由未 知量. 三、消元法的总结 用消元法解线性方程组的整个过程，总起来 说就是： 首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方 程组，把最后的一些恒等式“0 = 0”(如果出现的 话) 去掉. 如果剩下的方程当中最后一个等式是零 等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解. 在 有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数 r 等于未知量的个数 n，那么方程组有唯一的解; 果阶梯形方程组中方程的个数 r 小于未知量的个数 n ，那么方程组就有无穷多个解. 如 把以上结果应用到齐次线性方程组，就有 定理 1 在齐次线性方程组 中，如果 s n，那么它必有非零解. 证明 显然，方程组在化成阶梯形方程组之 后，方程的个数不会超过原方程组中方程的个数， 即 r ? s n . 由 r n 得知，它的解不是唯一的，因而必有非零 解. 证毕 四、线性方程组与矩阵 如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数 项，那么这个线性方程组就其本上确定了. 确切地 说，线性方程组 可以用下面的矩阵 来表示, 即对于给定的线性方程组可唯一地确定矩 阵 反之给定矩阵 可唯一地确定线性方程 组. 这也就是说，线性方程组与矩阵一一对应. 于是我们引进下述概念 定义 2 设有线性方程组 令 则称 A 为方程组的系数矩阵； 称为方程组的 增广矩阵. 显然，用初等变换化方程组成阶梯形方程组就 相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵. 因 此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进 行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解 还是无解，在有解的情形，再回到阶梯形方程组去 求解. 例 3 用矩阵的初等行变换法判断方程组是否 有解. 单 击 这 里 开 始 五、消元法的几何解释 在本节的最后，我们来研究消元法的几何意义. 以 3 元线性方程组为例. 设有 3 元线性方程组 并设其有唯一解 x = a , y = b , z = c. 我们知道，3 元线性方程在几何上表示一个平 面，因此，上述线性方程组的几何意义是：这三个 个平面交于一点 P(a, b, c). 从另外一个角度来说， 也就是，过空间点 P(a, b, c) 可以作无穷多个平面， 从这无穷多个平面中任选三个就可以确定空间点P. 而在这些平面中以平面 x = a, y = b, z = c 的方程最 简单，它们的位置也最特殊，因为它们平行于三个 坐标面. 由此可看出消元法的几何意义是： 从给定平 面出发，逐步用过点 P(a, b, c) 的位置较特殊的平 面的方程取代方程组中的方程，直到方程组中的方 程是过点 P(a, b, c) 所作的所有平面中方程最简单 的三个为止. 例如 显然,该方程组有唯一解, 且为 x = y = z = 1. P(1,1,1). 方程组的几何意义是这三个平面交于一点 方程组中的每一个方程表示一个空间平面, 故该 上述 设有三元线性方程组 如图 3 - 1 . x+2y-z=2 2x-y+z=2 x+y+z =3 P(1,1,1) 图 3 - 1 L 方程组 的解 所表示 的点如图 3 - 2 图 3 - 2 P(1,1,1) 所示. 消元的过程即为 也即 导 出 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本