大学数学(高数微积分)泰勒公式与极值问题课件(课堂讲义).pptVIP

半径相夹的中心角分别为 例10 证明: 圆的所有外切三角形中, 以正三角形的 面积为最小． 证 设圆的半径为 a, §4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题 任一外切三角形为 ABC,三切点处 在定义域内, 上述方程组仅有惟一解: 的二阶偏导数: 其中 . 为求得稳定点, 令 §4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题 此稳定点处取得极小值． 正三角形的面积为最小． 因为 , 面积函数 S 在定义域中处处存在偏 导数, §4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题 而具体问题存在最小值, 故外切三角形中以 §4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题 解 (i) 求稳定点： 解方程组 得稳定点 (ii) 求极值：由于 的黑赛矩阵为 并有　　　 §4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题 因此 当 ， (iii) 求在 上的特殊值: 单调增， 算出两端值 当 单调减， 当 ， §4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题 算出 单调增, 算出两端值 §4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题 这 一点与一元函数是不相同的, 务请读者注意！ 注 本例中的 上虽然只有惟一极值, 且为极 小值，但它并不因此成为 上的最小值． 图 17 - 9 §4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题 出来． 这在曲面 的图形中清晰地反映 例12 ( 最小二乘法问题 ) 设通过观察或实验得到一 上, 的对应关系 ( 参见图17-10 ). 与这 n 个点的偏差平方之和为最小( 最小二乘方 )． 即大体上可用直线方程来反映变量 x 与 y之间 现要确定一直线, 使得 §4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题 解 如图设所求直线方程为 为此令 图17 - 10 §4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题 把这组关于 a, b 的线性方程加以整理并求解，得 §4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题 并由实际意义可知这极小值即为最小值. §4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题 1. 试比较本节的中值公式 (8) 与§1 里的中值公式 (12)，两者的条件与结论有何区别？ 2. 对于函数 下列记号 各表示什么意义？ 3. 什么不可以推广到多元函数中来？( 请努力说点理 由出来，歪理、正理都无妨. ) 在该区间上的最大 (小) 值. 试问这一结论为 * 例3 改写成如下形式: 由复合函数求导公式，有 自变量的复合函数． §4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题 所以 §4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题 §4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题 二元函数的中值公式和泰勒公式, 与一元函数的拉 也有相同的公式，只是形式上更复杂一些． 先介绍凸区域. 图 17 - 6 凸 非凸 D, 则称 D 为凸区域 (图17- 6). §4 泰勒公式与极值问题 高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题 中值定理和泰勒公式 格朗日公式和泰勒公式相仿, 对于 元函数 若区域 D 上任意两点的连线都含于 定理17.8（中值定理） 点都可微, 设 在凸区域 上连续,在 D 的所有内 §4 泰勒公式与极值问题