因式分解的常用的的方法(目前最牛最全的教案).doc

PAGE PAGE 1 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 　　多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： 　（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)； 　(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2； 　(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 　(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： 　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； 　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例.已知是的三边，且， 则的形状是（ ） A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解： 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式： 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式= 原式= = = = = 练习：分解因式1、 2、 （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式： 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式= = = 例4、分解因式： 解：原式= = = 练习：分解因式3、 4、 综合练习：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11）（12） 四、十字相乘法. （一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 思考：十字相乘有什么基本规律？ 例.已知0＜≤5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的. 解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求 0而且是一个完全平方数。 于是为完全平方数， 例5、分解因式： 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2 解：= 1 3 = 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。 例6、分解因式： 解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7 练习5、分解因式(1) (2) (3) 练习6、分解因式(1) (2) (3) （二）二次项系数不为1的二次三项式—— 条件：（1） （2） （3） 分解结果：= 例7、分解因式： 分