因式分解的常用的的方法(目前最牛最全的教案).doc

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PAGE PAGE 1 因式分解的常用方法 第一部分:方法介绍   多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:  (1)(a+b)(a-b) = a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b);  (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2;  (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);  (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充两个常用的公式:  (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;  (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); 例.已知是的三边,且, 则的形状是( ) A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解: 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式: 分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。 解:原式= = 每组之间还有公因式! = 例2、分解因式: 解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组; 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解:原式= 原式= = = = = 练习:分解因式1、 2、 (二)分组后能直接运用公式 例3、分解因式: 分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。 解:原式= = = 例4、分解因式: 解:原式= = = 练习:分解因式3、 4、 综合练习:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)(12) 四、十字相乘法. (一)二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——进行分解。 特点:(1)二次项系数是1; (2)常数项是两个数的乘积; (3)一次项系数是常数项的两因数的和。 思考:十字相乘有什么基本规律? 例.已知0<≤5,且为整数,若能用十字相乘法分解因式,求符合条件的. 解析:凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c,都要求 0而且是一个完全平方数。 于是为完全平方数, 例5、分解因式: 分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3的分解适合,即2+3=5。 1 2 解:= 1 3 = 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。 例6、分解因式: 解:原式= 1 -1 = 1 -6 (-1)+(-6)= -7 练习5、分解因式(1) (2) (3) 练习6、分解因式(1) (2) (3) (二)二次项系数不为1的二次三项式—— 条件:(1) (2) (3) 分解结果:= 例7、分解因式: 分

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